余核

对于向量空间之间的线性映射[math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math]，其余核是指f的陪域Y除以f的像所得到的商空间[math]\displaystyle{ Y / \text{im}(f) }[/math]。我们把余核的维数称为f的余秩。

余核与范畴论中的核是对偶的概念，这也是其名称的由来：核是定义域的子对象（它映射到定义域），而余核则是陪域的商对象（它从陪域出发映射）。

从直观上理解，当我们试图求解方程[math]\displaystyle{ f(x) = y }[/math]时，余核衡量的是y必须满足的约束条件，这些约束决定了方程是否有解，即解的障碍；而核则衡量的是在解存在的情况下，解的自由度。这一点在后文的直观解释部分会有详细说明。

更一般地，在某个范畴中（例如群之间的同态或希尔伯特空间之间的有界线性算子），态射[math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math]的余核是指一个对象Q和一个态射[math]\displaystyle{ q : Y \rightarrow Q }[/math]，使得复合[math]\displaystyle{ q f }[/math]是该范畴中的零态射，并且q关于这个性质是泛性的。通常我们默认了映射q的存在，直接称Q为f的余核。

在抽象代数的许多情况下，比如对于交换群、向量空间或模，同态[math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math]的余核就是Y除以f的像所得到的商。在拓扑的背景下，例如希尔伯特空间之间的有界线性算子，我们通常需要先取像的闭包，然后再做商空间。