“正规矩阵”的版本间的差异
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2024年12月22日 (日) 13:49的版本
在数学中,如果一个复方阵[math]\displaystyle{ A }[/math]与其共轭转置[math]\displaystyle{ A^* }[/math]可交换,我们就称它为正规矩阵:
[math]\displaystyle{ A \text{normal} \iff A^A = AA^ }[/math]
正规矩阵的概念可以推广到无限维赋范空间上的正规算子,以及C*-代数中的正规元素。正如矩阵的情况一样,在非交换的环境中,正规性意味着在可能的范围内保持着交换性。这使得正规算子和C*-代数中的正规元素更容易进行分析。
谱定理指出,一个矩阵是正规的,当且仅当它与某个对角矩阵酉相似,因此任何满足方程[math]\displaystyle{ A^A = AA^ }[/math]的矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]都是可对角化的。(反之并不成立,因为可对角化矩阵可能具有非正交的特征子空间。)因此我们有: [math]\displaystyle{ A = UDU^ }[/math]且[math]\displaystyle{ A^ = UD^U^ }[/math],其中[math]\displaystyle{ D }[/math]是一个对角矩阵,其对角线上的元素一般是复数。
在正规矩阵[math]\displaystyle{ A = UDV^* }[/math]的奇异值分解中,左右奇异向量之间,以及它们与对应特征向量之间,仅相差一个复数相位,这是因为在形成奇异值时必须将特征值的相位因子分离出来。