更改

因此，<math>\mathbf{M}</math> 的[[秩]]等于非零奇异值的个数，也就是 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中非零对角元素的个数。在数值线性代数中，我们可以用奇异值确定矩阵的有效秩，因为舍入误差（rounding error）可能导致秩亏矩阵（rank deficiency matrix）出现小但非零的奇异值。我们通常认为超过显著间隙的奇异值在数值上等同于零。

因此，<math>\mathbf{M}</math> 的[[秩]]等于非零奇异值的个数，也就是 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中非零对角元素的个数。在数值线性代数中，我们可以用奇异值确定矩阵的有效秩，因为舍入误差（rounding error）可能导致秩亏矩阵（rank deficiency matrix）出现小但非零的奇异值。我们通常认为超过显著间隙的奇异值在数值上等同于零。

===低秩矩阵近似===

===[[低秩矩阵近似]]===

一些实际应用需要用另一个特定秩 r 的矩阵 <math>\tilde{\mathbf{M}}</math>（称为[[截断矩阵]]truncated）来近似矩阵 <math>\mathbf{M}</math>。如果我们要在 <math>\operatorname{rank}(\tilde{\mathbf{M}}) = r</math> 的约束下最小化 <math>\mathbf{M}</math> 和 <math>\tilde{\mathbf{M}}</math> 之间差的[[Frobenius范数]]，那么解就由 <math>\mathbf{M}</math> 的SVD给出：

一些实际应用需要用另一个特定秩 r 的矩阵 <math>\tilde{\mathbf{M}}</math>（称为[[截断矩阵]]truncated）来近似矩阵 <math>\mathbf{M}</math>。如果我们要在 <math>\operatorname{rank}(\tilde{\mathbf{M}}) = r</math> 的约束下最小化 <math>\mathbf{M}</math> 和 <math>\tilde{\mathbf{M}}</math> 之间差的[[Frobenius范数]]，那么解就由 <math>\mathbf{M}</math> 的SVD给出：