对称矩阵

在线性代数中，对称矩阵是指等于其转置的方阵。用形式化的数学语言表述就是：

[math]\displaystyle{ A \text{ 是对称矩阵} \iff A=A^{\textsf{T}}. }[/math]

由于相等的矩阵必须具有相同的维度，所以只有方阵才可能是对称矩阵。

对称矩阵的元素关于主对角线对称。也就是说，如果我们用[math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math]表示第[math]\displaystyle{ i }[/math]行第[math]\displaystyle{ j }[/math]列的元素，那么：

[math]\displaystyle{ A \text{ 是对称矩阵} \iff \text{ 对任意 }i,j, \quad a_{ji}=a_{ij} }[/math]

这个性质对所有指标[math]\displaystyle{ i }[/math]和[math]\displaystyle{ j }[/math]都成立。

所有对角矩阵都是对称矩阵，因为它们的所有非对角元素都是零。类似地，在特征不为2的情况下，斜对称矩阵的对角元素必须为零，因为每个对角元素都等于其自身的负数。

在线性代数中，实对称矩阵表示的是实内积空间中由标准正交基表示的自伴随算子。在复内积空间中，与之对应的是厄米特矩阵（也称Hermitian矩阵），这种矩阵具有复数值的元素，并且等于其共轭转置。因此，在复数域上的线性代数中，当我们提到对称矩阵时，通常默认指的是具有实数值元素的对称矩阵。对称矩阵在各种应用中都自然地出现，因此常见的数值线性代数软件都会为处理对称矩阵提供特殊的优化支持。