正交归一化

在线性代数中，如果内积空间中的两个向量既是单位向量又相互正交，我们就称这两个向量是标准正交的。所谓单位向量，就是长度为1的向量，我们也称之为规范化向量。而所谓正交，则是指这些向量彼此垂直。

当一组向量中的所有向量都相互正交，并且每个向量都是单位向量时，我们就说这组向量构成了一个标准正交集。特别地，如果这样的标准正交集恰好构成一组基底，我们就称之为标准正交基（或规范正交基）。

为了将一组线性无关的向量转化为标准正交基，我们可以使用正交归一化过程，最常用的方法是格拉姆-施密特正交化法（Gram-Schmidt process）。这个过程分为两个步骤：正交化和归一化。

首先进行正交化。假设我们有一组线性无关的向量[math]\displaystyle{ {v_1, v_2, ..., v_n} }[/math]，我们可以通过以下步骤将其转化为正交向量组[math]\displaystyle{ {u_1, u_2, ..., u_n} }[/math]：

保持第一个向量不变：[math]\displaystyle{ u_1 = v_1 }[/math] 对于后续的每个向量，减去它在之前所有正交向量上的投影：

• • [math]\displaystyle{ u_2 = v_2 - \text{proj}{u_1}(v_2) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ u_3 = v_3 - \text{proj}{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3) }[/math]
  • 以此类推

然后进行归一化。将每个正交向量除以其长度，得到单位向量：

[math]\displaystyle{ e_i = \frac{u_i}{|u_i|} }[/math]

经过这两个步骤，我们就得到了一组标准正交基[math]\displaystyle{ {e_1, e_2, ..., e_n} }[/math]。这组基保持了原向量组张成的空间不变，同时具有良好的正交性质，在许多计算和应用中都非常有用。