更改

<math>TE_{J \to I}=\sum_{i, j}(p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})\log\frac{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})}{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})})</math>（4）

<math>TE_{J \to I}=\sum_{i, j}(p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})\log\frac{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})}{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})})</math>（4）

如果<math>I</math>和<math>J</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)}) = p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})</math>，因此上述数量将为零。直观地说，<math>TE_{J \to I}</math>捕捉了从过程<math>J</math>到过程<math>I</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{J \to I} \neq TE_{I \to J}</math>。

如果<math>I</math>和<math>J</math>是独立过程，那么对于所有自然数<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)}) = p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})</math>，因此上述数量将为零。直观地说，<math>TE_{J \to I}</math>捕捉了从过程<math>J</math>到过程<math>I</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{J \to I} \neq TE_{I \to J}</math>。

 

=== 压缩复杂性因果（CCC） ===

=== 压缩复杂性因果（CCC） ===

像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“效果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯第一层级的关联因果关系（图3）。然而，很多时候，原因和效果可能在测量块或单个测量中同时存在。这可能是过程动态的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动态的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。对于一对时间序列<math>X</math>和<math>Y</math>，假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，关联因果关系及其局限性如图4所示。

像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“效果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯第一层级的关联因果关系（图3）。然而，很多时候，原因和效果可能在测量块或单个测量中同时存在。这可能是过程动态的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动态的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。对于一对时间序列<math>X</math>和<math>Y</math>，假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，关联因果关系及其局限性如图4所示。