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==最初定义==

==最初定义==

为了严谨地介绍成块性这一定义，我们将详细翻译文章中的部分<ref name=":1" />。'''读者也可直接跳到更简洁直观的‘成块性的充分必要条件'的部分。'''

为了严谨地介绍成块性这一定义，我们将详细翻译文章<ref name=":1" />中的部分内容。'''读者也可直接跳到更简洁直观的‘成块性的充分必要条件'的部分。'''

首先，我们形式化马尔科夫链的定义：设微观状态空间为有限集<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，系统在<math>t</math>时刻的状态分布向量<math>s^{(t)} = [ Pr(s(t) = s_1), Pr(s(t) = s_2), ... , Pr(s(t) = s_n) ]</math>，表示系统处于各个微观状态的概率。

首先，我们形式化地定义微观尺度的马尔科夫链为：设微观状态空间为有限集<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，系统在<math>t</math>时刻的状态分布向量<math>s^{(t)} = [ Pr(s(t) = s_1), Pr(s(t) = s_2), ... , Pr(s(t) = s_n) ]</math>，表示系统处于各个微观状态的概率。

对于一个给定的状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们可以将其视为宏观状态空间。微观状态空间<math>S</math> 和 宏观状态空间<math>A</math> 之间存在硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>，满足以下条件：1. <math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>包括若干个<math>s_i</math>；2. <math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>只能属于一个<math>A_i</math>；3. <math>S</math>中的每个元素都必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

对于一个给定的微观状态空间的划分（state partition）： <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们可以将其视为一个宏观状态空间，其中[math]A_k[/math]为第k个宏观态。

 

微观状态空间<math>S</math>和宏观状态空间<math>A</math> 之间存在硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>，且满足以下条件：1. <math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括若干个<math>s_i</math>；2. <math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>只能属于一个<math>A_i</math>；3. <math>S</math>中的每个元素都必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|图2：矩阵粗粒化示例|替代=|800x300像素|无]]

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