更改

为了严谨地介绍成块性这一定义，我们将详细翻译文章<ref name=":1" />中的部分内容。'''读者也可直接跳到更简洁直观的‘成块性的充分必要条件'的部分。'''

为了严谨地介绍成块性这一定义，我们将详细翻译文章<ref name=":1" />中的部分内容。'''读者也可直接跳到更简洁直观的‘成块性的充分必要条件'的部分。'''

首先，我们形式化地定义微观尺度的马尔科夫链为：设微观状态空间为有限集<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，系统在<math>t</math>时刻的状态分布向量<math>s^{(t)} = [ Pr(s(t) = s_1), Pr(s(t) = s_2), ... , Pr(s(t) = s_n) ]</math>为系统处于各个微观状态的概率，其中[math]s(t)[/math]表示系统在第t时刻的状态变量。

首先，我们形式化地定义微观尺度的马尔科夫链为：设微观状态空间为有限集<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，系统在<math>t</math>时刻的状态分布向量<math>s^{(t)} = [ Pr(s(t) = s_1), Pr(s(t) = s_2), ... , Pr(s(t) = s_n) ]</math>为系统处于各个微观状态的概率，其中[math]s(t)[/math]表示系统在第t时刻的状态变量。

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|图2：矩阵粗粒化示例|替代=|800x300像素|无]]

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|图2：矩阵粗粒化示例|替代=|800x300像素|无]]

我们考虑马尔科夫过程的线性投影，因此<math>\Phi</math>是一个<math>\{0,1\}^{n \times r}</math>的投影矩阵。对于任意 <math>\Phi</math>，我们可以定义一个'''简化过程（lumped process）'''，<math>\{A^{(t)}: A^{(t)} = s^{(t)} \Phi \}</math>，即通过投影矩阵<math>\Phi</math>将微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到宏观状态空间<math>A</math>上。

我们考虑马尔科夫过程的线性投影，因此<math>\Phi</math>是一个<math>\{0,1\}^{n \times r}</math>的投影矩阵。对于任意 <math>\Phi</math>，我们可以定义一个'''简化过程（lumped process）'''，<math>\{A^{(t)}: A^{(t)} = s^{(t)} \Phi \}</math>，即通过投影矩阵<math>\Phi</math>将微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到宏观状态空间<math>A</math>上。

例如图（2）所示的4状态马尔科夫链，选择投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>时，微观状态序列<math>\{ s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3 \}</math>在被分组后的状态上就表现为序列：<math>\{ A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2 \}</math>，这个序列实际上便自然定义了一个新的随机过程，我们称其为简化过程（lumped process）。

例如图（2）所示的4状态马尔科夫链，选择投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>时，微观状态序列<math>(s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3)</math>在被分组后的状态上就表现为序列：<math>(A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2)</math>，这个序列实际上便自然定义了一个新的随机过程，我们称其为简化过程（lumped process）。