558
个编辑
更改
→连续系统
我们可以直接得到图g和h中的粗粒化策略参数矩阵，可以看到A不满秩的时候，粗粒化策略只保留了前两个维度的信息，而A满秩的时候，粗粒化策略将<math>x_1,x_3</math>信息合并，<math>x_2,x_4</math>信息合并，一次达到降维的效果。
我们可以直接得到图g和h中的粗粒化策略参数矩阵，可以看到A不满秩的时候，粗粒化策略只保留了前两个维度的信息，而A满秩的时候，粗粒化策略将<math>x_1,x_3</math>信息合并，<math>x_2,x_4</math>信息合并，一次达到降维的效果。
===离散化布朗运动===
离散布朗运动是离散时间内连续布朗运动的近似，常用于数值模拟和随机过程建模。方程<math>x_{t+1}=Ax_t+\varepsilon_t</math>可以被视为奥恩斯坦-乌伦贝克（OU）过程的离散版本方法。在这个模型中，<math>\mu=a_0+Ax_t</math>是影响状态演化的漂移向量，协方差矩阵<math>\Sigma</math>表示扩散系数，它决定了<math>\varepsilon_t</math>维度上随机波动的幅度和相关性。
对<math>\Sigma^{-1}</math>和<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>进行SVD分解之后我们可以得到奇异向量矩阵<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>其中
<blockquote>
<math>
\begin{aligned}
U=\begin{pmatrix}
1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\
0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\
0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0 \\
0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0 \\
0& 0& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& 0\\
0& 0& 0& 0& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& 0\\
0& 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\
0& 0& 0& 0& 0& 0& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
V=\begin{pmatrix}
0& 0& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& 0& 0& 0& 0 \\
0& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& 0& 0& 0& 0 \\
0& 0& 0& 0& -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}} \\
1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\
0& 0& 0& 0& 0& 0&1& 0\\
0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
</math>
</blockquote>
对角化的奇异值矩阵
<blockquote>
<math>
\begin{aligned}
S&={\rm diag}(2,1.5,1.3,1.01,0.2,0.12,0.1,0.05)\\
K&={\rm diag}(1.6,1.25,1.1,1.05,0.5,0.4,0.25,0.1).
\end{aligned}
</math>
</blockquote>
After obtaining the singular value spectrum in Fig.\ref{fig:Known_model}m, we specify $\epsilon=0.6$ to get $\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.5167$ and the number of macro-states is $r_\epsilon=4$. To obtain theoretical values $\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.5167$, $s_1,\cdots,s_4$ and $\kappa_1,\cdots,\kappa_4$ should be retained.
[[文件:增长布朗.jpg|替代=|600x600像素|增长模型和布朗运动相关数值模拟结果]]
[[文件:增长布朗.jpg|替代=|600x600像素|增长模型和布朗运动相关数值模拟结果]]