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→成块划分和粗粒化的可交换性
如果我们把粗粒化和（宏观/微观）动力学看作是两个算子，那这两个算子的可交换性指的是：无论从哪个微观状态分布出发，走这两条路径得到的<math>A^{(t+1)}</math>的分布是一样的，即，'''<math>s^{(t)} \Phi P' = s^{(t)} P \Phi</math>'''。
如果我们把粗粒化和（宏观/微观）动力学看作是两个算子，那这两个算子的可交换性指的是：无论从哪个微观状态分布出发，走这两条路径得到的<math>A^{(t+1)}</math>的分布是一样的，即，'''<math>s^{(t)} \Phi P' = s^{(t)} P \Phi</math>'''。
对于一个成块的<math>P</math>，和它的成块划分<math>\Phi</math>，我们首先展示<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>的例子，其他情况类似。
对于一个成块的<math>P</math>，和它的成块划分<math>\Phi</math>，我们针对<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>的例子，其他情况类似。
对于这个<math>\Phi</math>，我们知道<math>P_{11}=P_{11}'</math>，<math>P_{12}+P_{13}+P_{14}=P_{12}'</math>，<math>P_{21}=P_{31}=P_{41}=P_{21}'</math>，<math>P_{22}+P_{23}+P_{24}=P_{32}+P_{33}+P_{34}=P_{42}+P_{43}+P_{44}=P_{22}'</math>。
对于这个<math>\Phi</math>，我们知道<math>P_{11}=P_{11}'</math>，<math>P_{12}+P_{13}+P_{14}=P_{12}'</math>，<math>P_{21}=P_{31}=P_{41}=P_{21}'</math>，<math>P_{22}+P_{23}+P_{24}=P_{32}+P_{33}+P_{34}=P_{42}+P_{43}+P_{44}=P_{22}'</math>。
推广到所有<math>\Phi</math>的情况的证明如下：
<math>(P \Phi)_{ij} = \sum_k (P_{ik} \Phi_{kj}})</math>，将<math>P</math>的每一行按照划分进行加总。
而<math>\Phi P'</math>是把<math>P'</math>的每一行按照<math>\Phi</math>复制到对应的微观状态的行中，所以当<math>\Phi_{ik} = 1</math>时，<math>(\Phi P')_{ij} = P'_{kj}</math>。
根据成块性的定义，<math>P'_{kj}</math>就等于<math>\sum_k (P_{ik} \Phi_{kj}}</math>，所以<math>\Phi P' = P \Phi</math>，交换律成立。
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