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在 <math>\Phi ID</math> 框架下，对系统从时间 <math>t</math> 到 <math>t+1</math> 之间的互信息 <math>I(X_t; X_{t+1})</math> 进行分解，可以得到 16 个信息原子（information atoms）。这些信息原子由PID 信息原子的双向作用形成，即每个 <math> \Phi ID </math> 原子都可以表示为一个 <math> PID </math> 信息原子对的有向组合。

在 <math>\Phi ID</math> 框架下，对系统从时间 <math>t</math> 到 <math>t+1</math> 之间的互信息 <math>I(X_t; X_{t+1})</math> 进行分解，可以得到 16 个信息原子（information atoms）。这些信息原子由PID 信息原子的双向作用形成，即每个 <math> \Phi ID </math> 原子都可以表示为一个 <math> PID </math> 信息原子对的有向组合。

特别地，从 {{12}} 出发的四个 <math> \Phi ID </math> 原子与因果涌现的定义及其分类直接相关，其中：因果解耦（G）对应于 <math>\{\{12\}\} \to \{\{12\}\}</math>，其取值大于零则系统具有因果解耦。向下因果（D）对应于 <math>\{\{12\}\} \to \{\{1\}\}, \{\{12\}\} \to \{\{2\}\}, \{\{12\}\} \to \{\{1\}\{2\}\}</math>，其中任意取值大于零则系统具有向下因果。

特别地，从 <math>{{12}} </math>出发的四个 <math> \Phi ID </math> 原子与因果涌现的定义及其分类直接相关，其中：因果解耦（G）对应于 <math>\{\{12\}\} \to \{\{12\}\}</math>，其取值大于零则系统具有因果解耦。向下因果（D）对应于 <math>\{\{12\}\} \to \{\{1\}\}, \{\{12\}\} \to \{\{2\}\}, \{\{12\}\} \to \{\{1\}\{2\}\}</math>，其中任意取值大于零则系统具有向下因果。

通过这种方式，PhiID 允许我们将系统的因果涌现分解为不同的成分，并在数学上严格刻画因果信息流的方向性。这一框架不仅适用于理论分析，还可以用于实际数据集的计算分析，帮助识别复杂系统中的因果结构。

通过这种方式，PhiID 允许我们将系统的因果涌现分解为不同的成分，并在数学上严格刻画因果信息流的方向性。这一框架不仅适用于理论分析，还可以用于实际数据集的计算分析，帮助识别复杂系统中的因果结构。