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==成块性为什么重要？==

==成块性为什么重要？==

为理解成块性(lumpability)的重要性，我们通过一个反例来揭示不满足成块性的粗粒化方案的缺陷。给定如下图所示的马尔科夫链，假设我们尝试进行如下的粗粒化操作，即将状态{1,2}合并为宏观态<math>A</math>，{3,4}合并为<math>B</math>。

为理解成块性(lumpability)的重要性，我们先通过一个反例来揭示不满足成块性的粗粒化方案的缺陷，从而让读者感受到引出成块性概念的必要性。给定如下图所示的马尔科夫链，假设我们尝试进行如下的粗粒化操作，即将状态{1,2}合并为宏观态<math>A</math>，{3,4}合并为<math>B</math>。

[[文件:非一致性示例.png|缩略图|图1：不满足一致性粗粒化示例|替代=|700像素|无]]

[[文件:非一致性示例.png|缩略图|图1：不满足一致性粗粒化示例|替代=|700像素|无]]

例如，图中的<math>P'</math>左上角的元素（组<math>A</math>到组<math>A</math>的概率）等于微观态1或微观态2转移到A的概率，都等于0.6。同理，右上角的元素（组<math>A</math>到组<math>B</math>的概率）等于0.4。

例如，图中的<math>P'</math>左上角的元素（组<math>A</math>到组<math>A</math>的概率）等于微观态1或微观态2转移到A的概率，都等于0.6。同理，右上角的元素（组<math>A</math>到组<math>B</math>的概率）等于0.4。

然而计算左下角的（即组<math>B</math>到组<math>A</math>的概率）的概率时发现：从微观态3转移到组<math>A</math>的概率为0.3+0.3=0.6，从微观态4转移到组<math>A</math>的概率为0.1+0.1=0.2。这种组内转移概率的冲突导致我们无法定义唯一的<math>B \rightarrow A</math>的宏观转移概率。

然而，当我们计算左下角的（即组<math>B</math>到组<math>A</math>的概率）的概率时发现：从微观态3转移到组<math>A</math>的概率为0.3+0.3=0.6，从微观态4转移到组<math>A</math>的概率为0.1+0.1=0.2。这种组内转移概率的冲突导致我们无法定义唯一的<math>B \rightarrow A</math>的宏观转移概率。

为了得到一组合理的宏观转移概率，我们可以尝试如下三种取值方案：设从微观态3到A的概率=0.6；设从微观态4到A的概率=0.2；然后把0.6和0.2取平均得到，从而得到一个转移概率：0.4。事实上，这种方案强行构造了一个宏观的转移矩阵。这种强制定义的转移概率粗粒化方案看似合理，但是却暗藏着矛盾。

为了得到一组合理的宏观转移概率，我们可以尝试如下三种取值方案：设从微观态3到A的概率=0.6；设从微观态4到A的概率=0.2；然后把0.6和0.2取平均，从而得到一个转移概率：0.4。事实上，这种方案强行构造了一个宏观的转移矩阵。这种强制定义的转移概率粗粒化方案看似合理，但是却暗藏着矛盾。

比如设左下角的所有元素的概率=0.6，右下角的所有元素概率=0.4，则我们可强行得到一个宏观转移概率矩阵（TPM）：

比如设左下角的所有元素的概率=0.6，右下角的所有元素概率=0.4，则我们可强行得到一个宏观转移概率矩阵（TPM）：