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现在我们考虑一个纯粹的数学问题：对于一个有限集合<math>I</math>，以及一个矩阵<math>P= (p_{ij} : i,j\in I)</math>，是否存在一种自然的方式将离散序列<math>P^1,P^2,P^3…</math>中的“空隙”填满？我们利用级数来解决这个问题。

现在我们考虑一个纯粹的数学问题：对于一个有限集合<math>I</math>，以及一个矩阵<math>P= (p_{ij} : i,j\in I)</math>，是否存在一种自然的方式将离散序列<math>P^1,P^2,P^3…</math>中的“空隙”填满？我们利用级数来解决这个问题。

<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{Q^k}{k!}</math>

对于任意一个矩阵<math>Q=(q_{ij} : i,j \in I)</math>（注意本小节的<math>Q</math>指的任意矩阵，而不需要是<math>Q</math>矩阵），级数<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{Q^k}{k!}</math>按分量收敛，我们把它的极限值记为<math>e^Q</math>。更进一步，如果两个矩阵<math>Q_1</math>和<math>Q_2</math>可交换，则有<math>e^{Q_1+Q_2}=e^{Q_1}e^{Q_2}</math>（与实数中相应的证明很相似）。假设对于矩阵<math>P</math>我们可以找到一个矩阵<math>Q</math>，使得<math>e^Q=P</math>。则有<math>e^{nQ}=(e^Q)^n=P^n</math>，很自然地<math>(e^{tQ}:t\geq 0)</math>就填满了离散序列<math>P^1,P^2,P^3…</math>中的“空隙”。在这种连续化操作的基础上，我们能证明下面定理。

<math>Q</math>是一个有限集合<math>I</math>上的矩阵，令<math>P(t)=e^{tQ}</math>，则<math>P(t)(t\geq 0）</math>具有下面的性质：

<math>Q</math>是一个有限集合<math>I</math>上的矩阵，令<math>P(t)=e^{tQ}</math>，则<math>P(t)(t\geq 0）</math>具有下面的性质：