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→与哈密顿系统的联系
== 与哈密顿系统的联系 ==
== 与哈密顿系统的联系 ==
耗散型Kuromoto模型包含在某些具有以下形式的[[哈密顿函数]]的[[保守哈密顿系统]]中：<ref>{{cite journal | last1 = Witthaut | first1 = Dirk | last2 = Timme | first2 = Marc | title = 哈密顿系统中的库拉莫托动力学 | journal = 物理评论E | volume=90 | issue = 3 | pages = 032917 | doi = 10.1103/PhysRevE.90.032917| pmid = 25314514 | year = 2014|arxiv = 1305.1742 |bibcode = 2014PhRvE..90c2917W | s2cid = 7510614 }}</ref>
:<math> \mathcal{H}(q_1,\ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N) = \sum_{i = 1}^N \frac{\omega_i}{2} (q_i^2 + p_i^2) + \frac{K}{4N} \sum_{i,j = 1}^{N} (q_i p_j - q_j p_i) ( q_j^2 + p_j^2 - q_i^2 - p_i^2 ) </math>
:<math> \mathcal{H}(q_1,\ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N) = \sum_{i = 1}^N \frac{\omega_i}{2} (q_i^2 + p_i^2) + \frac{K}{4N} \sum_{i,j = 1}^{N} (q_i p_j - q_j p_i) ( q_j^2 + p_j^2 - q_i^2 - p_i^2 ) </math>
在将正则变换应用于作用-角度变量（以作用<math> I_i = \left( q_i^2 + p_i^2 \right)/2 </math>和角度（相位）<math> \phi_i = \mathrm{arctan} \left( q_i/p_i \right) </math>为变量）后，库拉莫托动力学在常数<math> I_i \equiv I </math>的不变流形上出现。经过变换的哈密顿函数为：
在将正则变换应用于作用-角度变量（以作用<math> I_i = \left( q_i^2 + p_i^2 \right)/2 </math>和角度（相位）<math> \phi_i = \mathrm{arctan} \left( q_i/p_i \right) </math>为变量）后，Kuromoto动力学在常数<math> I_i \equiv I </math>的不变流形上出现。经过变换的哈密顿函数为：
:<math> \mathcal{H'}(I_1, \ldots I_N, \phi_1 \ldots, \phi_N) = \sum_{i = 1}^N \omega_i I_i - \frac{K}{N} \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} \sqrt{I_j I_i} (I_j - I_i) \sin(\phi_j - \phi_i), </math>
:<math> \mathcal{H'}(I_1, \ldots I_N, \phi_1 \ldots, \phi_N) = \sum_{i = 1}^N \omega_i I_i - \frac{K}{N} \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} \sqrt{I_j I_i} (I_j - I_i) \sin(\phi_j - \phi_i), </math>
:<math> \frac{d \phi_i}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}'}{\partial I_i} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{k=1}^N \left[ 2 \sqrt{I_i I_k} \sin(\phi_k - \phi_i) \right. \left. + \sqrt{I_k/I_i} (I_k - I_i) \sin(\phi_k - \phi_i) \right] . </math>
:<math> \frac{d \phi_i}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}'}{\partial I_i} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{k=1}^N \left[ 2 \sqrt{I_i I_k} \sin(\phi_k - \phi_i) \right. \left. + \sqrt{I_k/I_i} (I_k - I_i) \sin(\phi_k - \phi_i) \right] . </math>
因此，当<math> I_j = I </math>时，流形是守恒的，因为<math> \frac{d I_i}{dt} = 0 </math>，而相位动力学<math> \frac{d \phi_i}{dt} </math>成为库拉莫托模型的动力学（当<math> I = 1/2 </math>时，耦合常数相同）。这一类哈密顿系统包括某些量子-经典系统，例如[[玻色-爱因斯坦凝聚态]]。
因此，当<math> I_j = I </math>时，流形是守恒的，因为<math> \frac{d I_i}{dt} = 0 </math>，而相位动力学<math> \frac{d \phi_i}{dt} </math>成为Kuromoto模型的动力学（当<math> I = 1/2 </math>时，耦合常数相同）。这一类哈密顿系统包括某些量子-经典系统，例如[[玻色-爱因斯坦凝聚态]]。
==模型的变体==
==模型的变体==