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→马尔科夫链的SVD分解粗粒化
=====马尔科夫链的SVD分解粗粒化=====
=====马尔科夫链的SVD粗粒化=====
从转移矩阵谱的角度出发，张江团队提出了基于奇异值分解（SVD）的粗粒化方法<ref name=":6">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。
第一步，对状态空间进行划分。首先，考虑<math>N</math>阶转移矩阵<math>P</math>的截断奇异值分解
<math>U\Sigma_{r\times r} V^{\rm T}</math>，
其中，<math>r</math>为粗粒化后的状态个数。之后，利用矩阵<math>V</math>对转移矩阵<math>P</math>做投影操作，得
<math>\tilde{P}=PV</math>。接下来，利用Kmeans等聚类算法将<math>\tilde{P}</math>的行向量聚为<math>r</math>类，得到指示矩阵<math>\Phi</math>，其元素表示如下
<math>\Phi_{ij}=\begin{cases}
1,&j=a(i),\\
0,&j\neq a(i),
\end{cases}
</math>
其中，<math>a(i)\in\{1,2,\ldots,r\}</math>为<math>\tilde{P}</math>的第<math>i</math>行行向量所属类别。
第二步，定义新的转移概率矩阵。假设有限维转移矩阵<math>P</math>对应的马尔科夫链是不可约且非周期的，则存在唯一平稳分布<math>\pi</math>。考虑达到平稳后的两步联合概率
<math> P(X_n=j,X_{n-1}=i)=P(X_{n-1}=i)P(X_n=j|X_{n-1}=i)=\mu_ip_{ij},\ \ i,j=1,2,\ldots,N</math>，
称其组成的矩阵<math>F</math>为平稳流矩阵。接下来，基于平稳流矩阵和指示矩阵，定义简化平稳流矩阵
<math>
F'=\Phi^{\rm T}F\Phi
</math>。
为了满足行和为1的约束，对矩阵<math>F'</math>进行行归一化，得到粗粒化后转移矩阵<math>P'</math>，其元素为
<math>
P'_{ij}=\frac{F'_{ij}}{\sum_kF'_{ik}}
</math>。
详细介绍参见词条[[基于可逆性的因果涌现理论]]。
详细介绍参见词条[[基于可逆性的因果涌现理论]]。