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2024年，[[张江]]等人<ref name=":22">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。

2024年，[[张江]]等人<ref name=":22">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。

2025年，基于可逆性的的因果涌现理论<ref name=":15" />又被成功的拓展到了高斯噪声迭代系统之中。对于一个具有高斯噪声的迭代系统，可以类比马尔科夫转移矩阵计算奇异值的方法，并利用泛函分析和傅里叶变换的方法，得到频域空间中连续动力系统的可逆性度量指标<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \int_{-\infty}^\infty\sigma^{\alpha}(\omega)</math>。而与离散状态空间不同，对于连续的空间，无论<math>n</math>取多少<math>\mathcal{R}^n</math>之间状态数量都是无穷，势是相同的，因此无法直接从状态上进行约减。我们需要把涌现的研究对象，从概率空间转移到欧式空间，而<math>\Gamma_{\alpha}</math>恰好与正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>与逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>正相关，两个协方差矩阵在一起可以反映不同欧式空间维度的可逆性。因此在欧式空间，我们也可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''和'''模糊因果涌现'''。

2025年，基于可逆性的的因果涌现理论<ref name=":15" />又被成功的拓展到了高斯噪声迭代系统之中。对于一个具有高斯噪声的迭代系统，可以类比马尔科夫转移矩阵计算奇异值的方法，并利用泛函分析和傅里叶变换的方法，得到频域空间中连续动力系统的可逆性度量指标<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \int_{-\infty}^\infty\sigma^{\alpha}(\omega)</math>。而与离散状态空间不同，对于连续的空间，无论<math>n</math>取多少<math>\mathcal{R}^n</math>之间状态数量都是无穷，状态空间的势（反应集合中点的数量）是相同的，因此无法直接从状态上进行约减。我们需要把涌现的研究对象，从概率空间转移到欧式空间，而<math>\Gamma_{\alpha}</math>恰好与正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>与逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>正相关，两个协方差矩阵在一起可以反映不同欧式空间维度的可逆性。因此在欧式空间，我们也可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''和'''模糊因果涌现'''。

基于可逆性的因果涌现理论与已有的其他因果涌现理论最大的区别就是不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵或高斯迭代系统的奇异值谱就能判断因果涌现的发生，一定程度上规避了观察者效应的问题和最大化有效信息的难以优化求解的问题。

基于可逆性的因果涌现理论与已有的其他因果涌现理论最大的区别就是不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵或高斯迭代系统的奇异值谱就能判断因果涌现的发生，一定程度上规避了观察者效应的问题和最大化有效信息的难以优化求解的问题。

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这里，<math>𝑠_𝑖</math>为矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>的第<math>i</math>个奇异值，<math>𝜅_𝑖</math>为矩阵<math>Σ^{−1}</math>的第i个奇异值。因此，我们只需要分析这两个奇异值构成的联合谱，即可定量刻画系统的因果涌现特性了。也就是说，我们把原转移概率矩阵的奇异值分解转变为了对<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>这两个矩阵的奇异值分解问题。其中，<math>Σ^{−1}</math>为正向动力学，即<math>p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的协方差矩阵之逆，而<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>则是<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>的逆向动力学的协方差矩阵。

这里，<math>𝑠_𝑖</math>为矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>的第<math>i</math>个奇异值，<math>𝜅_𝑖</math>为矩阵<math>Σ^{−1}</math>的第i个奇异值。因此，我们只需要分析这两个奇异值构成的联合谱，即可定量刻画系统的因果涌现特性了。也就是说，我们把原转移概率矩阵的奇异值分解转变为了对<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>这两个矩阵的奇异值分解问题。其中，<math>Σ^{−1}</math>为正向动力学，即<math>p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的协方差矩阵之逆，而<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>则是<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>的逆向动力学的协方差矩阵。

===确定性和简并性===

===确定性和简并性===