更改

==连续系统==

==连续系统==

===增长模型===

===增长模型===

假设一个4维的向量，前两个维度<math>x_1,x_2</math>遵循增长率为0.2和0.05的马尔萨斯增长模型。同时另外两个维度<math>x_3,x_4</math>直接复制了前两个维度的状态如图a所示，他们和前两个维度高度相关，甚至可以视为冗余的维度，最终生成数据如图d所示。我们设微观态<math>x=(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>, 模型的动力学可以写成<math>x_{t+1}=a_0+Ax_t+\varepsilon_t, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2 I_4)</math>，其中<math>x_t,x_{t+1}\in\mathcal{R}^{4}</math>, <math>A</math>是增长率构成的矩阵， <math>\sigma^2=0.1</math>是对角化的协方差矩阵, <math>a_0=0</math>是自然参数, 并且

假设一个4维的向量，前两个维度<math>x_1,x_2</math>遵循增长率为0.2和0.05的马尔萨斯增长模型。同时另外两个维度<math>x_3,x_4</math>直接复制了前两个维度的状态如图a所示，他们和前两个维度高度相关，甚至可以视为冗余的维度，最终生成数据如图d所示，其中<math>x_1,...,x_4</math>表示不同维度的增长曲线，<math>y_1y_2</math>表示粗粒化后的宏观态。我们设微观态<math>x=(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>, 模型的动力学可以写成<math>x_{t+1}=a_0+Ax_t+\varepsilon_t, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2 I_4)</math>，其中<math>x_t,x_{t+1}\in\mathcal{R}^{4}</math>, <math>A</math>是增长率构成的矩阵， <math>\sigma^2=0.1</math>是对角化的协方差矩阵, <math>a_0=0</math>是自然参数, 并且

<blockquote>

<blockquote>

<math>

<math>

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

该矩阵只有两个奇异值矩阵秩<math>r=2<4</math>。由于正向矩阵是对角单位阵和常数数乘得到，因此我们只需要考虑逆向动力学的矩阵。如图c所示，横轴表示逆向动力学协方差矩阵的奇异值<math>s_1\geq\dots\geq s_4</math>, 纵轴表示奇异值大小, 通过计算我们可以得知清晰因果涌现为<math>\Delta\Gamma_\alpha(0)=0.4034</math>，逆向动力学协方差矩阵如图b所示。

该矩阵只有两个奇异值矩阵秩<math>r=2<4</math>。由于正向矩阵是对角单位阵和常数数乘得到，因此我们只需要考虑逆向动力学的矩阵，如图b所示。如图c所示，横轴表示逆向动力学协方差矩阵的奇异值<math>s_1\geq\dots\geq s_4</math>, 纵轴表示奇异值大小, 通过计算我们可以得知清晰因果涌现为<math>\Delta\Gamma_\alpha(0)=0.4034</math>，逆向动力学协方差矩阵如图b所示。

同时我们可以对矩阵A增加一些扰动，使

同时我们可以对矩阵A增加一些扰动，使