558
个编辑
更改
→连续动力学
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，必须两个协方差都很小，非满秩或病态（对应维度虽然取值非0，但相比其他维度相差过于悬殊）的维度影响较小的时候，系统动力学才有更强的可逆性。
其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，正向、逆向的协方差都很小，或非满秩、病态（对应维度虽然取值非0，但相比其他维度相差过于悬殊）的矩阵对模型整体影响较小的时候，系统动力学有更强的可逆性。
可逆性最强的情况下，动力系统可以直接写成可逆映射
可逆性最强的情况下，动力系统可以直接写成可逆映射
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>可以相互建立一一映射。而<math>A</math>不可逆或存在噪声<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的情况下，会造成映射的不可逆，因此我们只能通过近似可逆性来度量以上两种情况的可逆性。我们可以发现，当噪声协方差同时满足<math>\Sigma\to 0</math>, <math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\to 0</math>，即正向动力学和逆向动力学的噪声协方差矩阵均区域0的时候，整个动力学可以近似为<math>X_{t+1}=a_0+AX_t+\varepsilon_t\to AX_t+a_0</math>和<math>X_{t}=A^\dagger X_{t+1}-A^\dagger a_0-A^\dagger\varepsilon_t\to A^\dagger X_t-A^\dagger a_0</math>，此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>之间的的条件概率分布可以写成狄拉克分布
此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>可以相互建立一一映射。而<math>A</math>不可逆或存在噪声<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的情况下，会造成映射的不可逆，因此我们只能通过近似可逆性来度量以上两种情况的可逆性。我们可以发现，当噪声协方差同时满足<math>\Sigma\to 0</math>, <math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\to 0</math>，即正向动力学和逆向动力学的噪声协方差矩阵均接近0的时候，整个动力学可以近似为<math>X_{t+1}=a_0+AX_t+\varepsilon_t\to AX_t+a_0</math>和<math>X_{t}=A^\dagger X_{t+1}-A^\dagger a_0-A^\dagger\varepsilon_t\to A^\dagger X_t-A^\dagger a_0</math>，此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>之间的的条件概率分布可以写成狄拉克分布
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>