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→基本概念
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==高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现==
==高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现==
</math>测量确定性和简并性的综合影响。
</math>测量确定性和简并性的综合影响。
===高斯噪声迭代系统基于SVD的因果涌现===
=基于SVD（动力学可逆性）的因果涌现=
==离散TPM基于SVD的因果涌现==
===清晰因果涌现===
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
\chi
</math>，如果<math>r≡rank(P)<N</math>，则该系统中会出现明显的因果涌现。且因果涌现的程度为：
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
\Delta\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}\cdot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
\end{aligned}
</math>
</blockquote>
===模糊因果涌现===
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
\chi
</math>，假设其奇异值为<math>
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
</math>。对于给定实值<math>
\epsilon\in[0,\sigma_{1}]
</math>，如果存在整数<math>
i\in[1, N)
</math>，使得<math>
\sigma_{i}>\epsilon
</math>，则系统中出现了模糊因果涌现，其模糊程度为<math>
\epsilon
</math>。而因果涌现的程度为：
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)=\frac{\sum_{i=1}^{r_{\epsilon}}\sigma_{i}^{\alpha}}{r_{\epsilon}}-\frac{\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}}{N},
\end{aligned}
</math>
</blockquote>
其中<math>
r_{\epsilon}=max\{ i| \sigma_{i} > \epsilon\}
</math>
这些定义与任何粗粒化方法无关，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。当<math>
\epsilon=0
</math>时，清晰因果涌现是模糊因果涌现的特例，特别是当奇异值可以分析求解时，它具有理论价值。此外，对因果涌现发生的判断与<math>
\alpha
</math>无关，因为它只与秩有关。因此，清晰因果涌现的概念仅由P决定，是无参数的。在实际应用中，必须给出阈值<math>
\epsilon
</math>，因为奇异值可能无限趋近于0，但P是满秩的。可以根据奇异值频谱中的明显截止点来选择<math>
\epsilon
</math>。若<math>
\epsilon
</math>非常小（比如<math>
\epsilon<{10}^{-10}
</math>），我们也可以说因果涌现大致发生。对于任意<math>
\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1]
</math>，只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>时，才会出现因果涌现。
==高斯噪声迭代系统基于SVD的因果涌现==
同样，在规定<math>\epsilon\geq 0</math>之后，我们可以筛选两个协方差矩阵的奇异值来计算因果涌现，即
同样，在规定<math>\epsilon\geq 0</math>之后，我们可以筛选两个协方差矩阵的奇异值来计算因果涌现，即
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