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→细致平衡条件
下面考察有限状态空间上不可约、非周期的马尔科夫链，其唯一的平稳分布为<math>\pi</math>。从平稳分布出发，有
下面考察有限状态空间上不可约、非周期的马尔科夫链，其唯一的平稳分布为<math>\pi</math>。若从平稳分布<math>\pi</math>出发，有
<math>P(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)
<math>P(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)
=\frac{P(X_n=j)P(X_{n+1}=i|X_n=j)}{P(X_{n+1}=i)}=\frac{\pi_jp_{ji}}{\pi_i}\triangleq q_{ij}</math>。
=\frac{P(X_n=j)P(X_{n+1}=i|X_n=j)}{P(X_{n+1}=i)}=\frac{\pi_jp_{ji}}{\pi_i}\triangleq q_{ij}</math>，
此时，反向过程是齐次的。
此时，反向过程是齐次的。
进一步，考虑一种特殊情形，若<math>q_{ij}=p_{ij}</math>，即对于任意的状态<math>i,j</math>，满足<math>\pi_i p_{ij}=\pi_jp_{ji}</math>。此时，称马尔科夫链满足细致平衡条件，也称该马尔科夫链是'''时间可逆的'''。
进一步，考虑一种特殊情形，若<math>q_{ij}=p_{ij}</math>，即对于任意的状态<math>i,j</math>，若存在<math>S</math>上的概率分布<math>\pi</math>满足
<math>\pi_i p_{ij}=\pi_jp_{ji}</math>，
此时，称马尔科夫链满足细致平衡条件，也称该马尔科夫链是'''时间可逆的'''，称概率分布<math>\pi</math>为<math>P</math>的一个可逆分布。
注：<math>\pi_i p_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jp_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送。细致平衡条件可以理解为任意的状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的。
注：<math>\pi_i p_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jp_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送。细致平衡条件可以理解为任意的状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的。
进一步，由细致平衡条件，则可逆分布是平稳分布，即
<math>\pi_i=\sum_k\pi_kP_{ki}\iff \pi=\pi P</math>。
<math>\pi_i=\sum_k\pi_kP_{ki}\iff \pi=\pi P</math>。
证：<math>\pi_i=\pi_i\sum_kP_{ik}=\sum_k\pi_iP_{ik}=\sum_k\pi_kP_{ki}</math>。
证：<math>\pi_i=\pi_i\sum_kP_{ik}=\sum_k\pi_iP_{ik}=\sum_k\pi_kP_{ki}</math>。
这为求解平稳分布提供了一种新的方法。考虑如下概率转移矩阵
<math>P=\left(\begin{matrix}
0&\frac{1}{2}&0&0&0&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{3}&0&\frac{1}{3}&0&0&\frac{1}{3}\\
0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0&0\\
0&0&\frac{1}{3}&0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\
0&0&0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\
\end{matrix}\right)</math>。
利用细致平衡条件，得
<math>
\begin{aligned}
\frac{\pi_1}{2}&=\frac{\pi_2}{3},\ \ \frac{\pi_2}{3}=\frac{\pi_3}{2},\ \ \frac{\pi_3}{2}=\frac{\pi_4}{3},\ \ \frac{\pi_4}{3}=\frac{\pi_5}{2},\\
\frac{\pi_1}{2}&=\frac{\pi_6}{4},\ \ \frac{\pi_2}{3}=\frac{\pi_6}{4},\ \ \frac{\pi_4}{3}=\frac{\pi_6}{4},\ \ \frac{\pi_5}{2}=\frac{\pi_6}{4}。
\end{aligned}
</math>
进一步，由求和为1，得可逆分布（也是平稳分布）
<math>\pi=\left(\frac{1}{8},\frac{3}{16},\frac{1}{8},\frac{3}{16},\frac{1}{8},\frac{1}{4}\right)</math>。
但上述结论反之则不然，考虑如下概率转移矩阵
<math>P=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)</math>。
易知，其存在平稳分布<math>\pi=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)</math>，但
<math>\pi_1p_{12}-\pi_2p_{21}=1/6\neq 0</math>，
即该链不是可逆的。
====时间可逆性与动力学可逆性====
====时间可逆性与动力学可逆性====