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==历史发展==

==历史发展==

1906年，俄罗斯数学家Andrey Andreyevich Markov在研究大数定律时，首次定义了离散随机序列在给定现在的条件下，过去与未来的条件独立性，即马尔科夫性

1906年，俄罗斯数学家Andrey Andreyevich Markov在研究大数定律时，首次定义了离散随机序列在给定现在的条件下，过去与未来的条件独立性，即马尔科夫性

<ref name=":4">Markov A A．Rasprostranenie zakona bol’shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga．Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 1906, 15: 135-156.</ref>。随后，1907年，Andrey Markov基于普希金的长诗《叶甫盖尼・奥涅金》研究了俄语字母序列上的马尔科夫链及其极限分布<ref name=":5">Markov A A. Issledovanie statističeskich zakonov vjumel’nogo jazika (Analysis of statistical laws in the verse language). Trudy Imperatorskogo S.-Peterburgskogo Mineralogičeskogo Obščestva, 2nd series, 1913, 42, 153–162.</ref>。1931年，Andrey Kolmogorov将其推广至连续时间马尔可夫链并建立了转移概率微分方程。

<ref name=":3">Markov A A．Rasprostranenie zakona bol’shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga．Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 1906, 15: 135-156.</ref>。随后，Andrey Markov基于普希金的长诗《叶甫盖尼・奥涅金》研究了俄语字母序列上的马尔科夫链及其极限分布<ref name=":4">Markov A A. Issledovanie statističeskich zakonov vjumel’nogo jazika (Analysis of statistical laws in the verse language). Trudy Imperatorskogo S.-Peterburgskogo Mineralogičeskogo Obščestva, 2nd series, 1913, 42, 153–162.</ref>。1931年，Kendall等人将其推广至连续时间马尔可夫链并建立了相应理论<ref name=":5">Kendall D G, Batchelor G K, Bingham N H, Hayman W K, Hyland J M E, Lorentz G G, Moffatt H K, Parry W, Razborov A A, Robinson C A and Whittle P. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Bulletin of the London Mathematical Society, 1990, 22(1): 31-100.</ref>。

==离散（或连续）时间马尔科夫链的定义==

==离散（或连续）时间马尔科夫链的定义==

首先，介绍一个经典的骰子游戏——Yahtzee。在游戏中共有5个六面均匀的骰子，游戏参与者至多有三次投掷机会。为了简化，此处假设目标是使得所有骰子的结果相同（称为获得Yahtzee）。具体规则是在第一次和第二次投掷后，可以仅重新投掷部分数量骰子，而保持其他骰子不动。例如，第一次投掷结果为11234，由于有两个1，可以保持对应的两个骰子不动，重新投掷234对应的三个骰子。<ref name=":3">http://www.stat.yale.edu/~pollard/Courses/251.spring2013/Handouts/Chang-MarkovChains.pdf</ref>

首先，介绍一个经典的骰子游戏——Yahtzee。在游戏中共有5个六面均匀的骰子，游戏参与者至多有三次投掷机会。为了简化，此处假设目标是使得所有骰子的结果相同（称为获得Yahtzee）。具体规则是在第一次和第二次投掷后，可以仅重新投掷部分数量骰子，而保持其他骰子不动。例如，第一次投掷结果为11234，由于有两个1，可以保持对应的两个骰子不动，重新投掷234对应的三个骰子。<ref name=":6">http://www.stat.yale.edu/~pollard/Courses/251.spring2013/Handouts/Chang-MarkovChains.pdf</ref>

Yahtzee例子中时间和状态空间均是离散的且满足马尔科夫性质，称这类随机过程为离散时间马尔科夫链（简称马尔科夫链，Markov chain），严格的数学定义如下：

Yahtzee例子中时间和状态空间均是离散的且满足马尔科夫性质，称这类随机过程为离散时间马尔科夫链（简称马尔科夫链，Markov chain），严格的数学定义如下：

称状态空间<math>S=\{1,2,\ldots\}</math>上的随机过程<math>\{X_n,\ n=0,1,2,\ldots\}</math>是'''马尔科夫链'''<ref name=":4">Markov A A．Rasprostranenie zakona bol’shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga．Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 1906, 15: 135-156.</ref>或具有马尔科夫性质，若满足

称状态空间<math>S=\{1,2,\ldots\}</math>上的随机过程<math>\{X_n,\ n=0,1,2,\ldots\}</math>是'''马尔科夫链'''或具有马尔科夫性质，若满足

<math>\forall n,\ \ P(X_n=j|X_{n-1}=i,X_{n-2}=x_{n-2},\ldots,X_0=x_0)=P(X_n=j|X_{n-1}=i),</math>

<math>\forall n,\ \ P(X_n=j|X_{n-1}=i,X_{n-2}=x_{n-2},\ldots,X_0=x_0)=P(X_n=j|X_{n-1}=i),</math>

此外，当时间是连续的但状态空间仍是离散的且满足马尔科夫性质，称这类随机过程为连续时间马尔科夫链，具体定义为

此外，当时间是连续的但状态空间仍是离散的且满足马尔科夫性质，称这类随机过程为连续时间马尔科夫链，具体定义为

称状态空间<math>S=\{1,2,\ldots\}</math>上的随机过程<math>\{X_t,\ t\geq 0\}</math>是'''连续时间马尔科夫链'''<ref name=":5">Kendall D G, Batchelor G K, Bingham N H, Hayman W K, Hyland J M E, Lorentz G G, Moffatt H K, Parry W, Razborov A A, Robinson C A and Whittle P. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Bulletin of the London Mathematical Society, 1990, 22(1): 31-100.</ref>

称状态空间<math>S=\{1,2,\ldots\}</math>上的随机过程<math>\{X_t,\ t\geq 0\}</math>是'''连续时间马尔科夫链'''，若满足

，若满足

<math>\forall n,\ 0=t_0<t_1<\ldots<t_{n-1}<t_{n},\ \ P(X_{t_n}=j|X_{t_{n-1}}=i,X_{t_{n-2}}=x_{t_{n-2}},\ldots,X_{t_{0}}=x_{t_{0}})=P(X_{t_n}=j|X_{t_{n-1}}=i)</math>。

<math>\forall n,\ 0=t_0<t_1<\ldots<t_{n-1}<t_{n},\ \ P(X_{t_n}=j|X_{t_{n-1}}=i,X_{t_{n-2}}=x_{t_{n-2}},\ldots,X_{t_{0}}=x_{t_{0}})=P(X_{t_n}=j|X_{t_{n-1}}=i)</math>。

=====马尔科夫链的SVD粗粒化=====

=====马尔科夫链的SVD粗粒化=====

从转移矩阵谱的角度出发，张江团队提出了基于奇异值分解（SVD）的粗粒化方法<ref name=":6">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。

从转移矩阵谱的角度出发，张江团队提出了基于奇异值分解（SVD）的粗粒化方法<ref name=":7">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。

基于上述信道容量的概念，Erik Hoel<ref name=":7">Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref>提出了离散马尔科夫动力学的有效信息度量

基于上述信道容量的概念，Erik Hoel<ref name=":8">Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref>提出了离散马尔科夫动力学的有效信息度量

<math>C=\max_{U_X}I(X;Y)=\max_{U_X} H(Y)-H(Y|X),</math>

<math>C=\max_{U_X}I(X;Y)=\max_{U_X} H(Y)-H(Y|X),</math>

<math>\Gamma_\alpha=\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha</math>

<math>\Gamma_\alpha=\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha</math>

作为动力学可逆性的近似<ref name=":6">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。在应用中，常采用<math>\Gamma_{\alpha=1}</math>即转移概率矩阵的核范数来度量接近动力学可逆的程度。

作为动力学可逆性的近似<ref name=":7">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。在应用中，常采用<math>\Gamma_{\alpha=1}</math>即转移概率矩阵的核范数来度量接近动力学可逆的程度。

==连续时间马尔科夫链==

==连续时间马尔科夫链==

连续时间马尔科夫链和离散时间马尔科夫链同样具有马尔科夫性质。它们之间的区别在于，离散时间马尔科夫链可以用不变的转移概率矩阵<math>P</math>描述，但在连续时间马尔科夫链中，转移概率矩阵<math>P(t)</math>会依赖于状态之间的时间间隔<math>t ,t\in \R</math>。<ref name=":8">何书元. 随机过程, 北京大学出版社,2008, 204-253.</ref>

连续时间马尔科夫链和离散时间马尔科夫链同样具有马尔科夫性质。它们之间的区别在于，离散时间马尔科夫链可以用不变的转移概率矩阵<math>P</math>描述，但在连续时间马尔科夫链中，转移概率矩阵<math>P(t)</math>会依赖于状态之间的时间间隔<math>t ,t\in \R</math>。<ref name=":9">何书元. 随机过程, 北京大学出版社,2008, 204-253.</ref>

处理实际问题时，<math>P(t)</math>并不容易得到，所以我们常用容易得到的不依赖于<math>t</math>的转移速率矩阵<math>Q</math>来刻画连续时间马尔科夫链的性质，对转移速率矩阵<math>Q</math>更严格的定义会在后面给出。这部分主要目的是将离散时间马尔科夫链中的概念扩展到连续时间马尔科夫链中，更详细的内容见[[连续时间马尔科夫链]]。

处理实际问题时，<math>P(t)</math>并不容易得到，所以我们常用容易得到的不依赖于<math>t</math>的转移速率矩阵<math>Q</math>来刻画连续时间马尔科夫链的性质，对转移速率矩阵<math>Q</math>更严格的定义会在后面给出。这部分主要目的是将离散时间马尔科夫链中的概念扩展到连续时间马尔科夫链中，更详细的内容见[[连续时间马尔科夫链]]。

<math>Q'_{kl}=\sum_{j\in B_l}Q^{ij},i\in B_k</math>

<math>Q'_{kl}=\sum_{j\in B_l}Q^{ij},i\in B_k</math>

强成块性确保了区块内状态的不可区分性，粗粒化过程严格保持瞬态与稳态分布<ref name=":9">Luca Cardelli and Radu Grosu and Kim G. Larsen and Mirco Tribastone and Max Tschaikowski and Andrea Vandin. Lumpability for Uncertain Continuous-Time Markov Chains. QEST, 2021, 391-409.</ref>。

强成块性确保了区块内状态的不可区分性，粗粒化过程严格保持瞬态与稳态分布<ref name=":10">Luca Cardelli and Radu Grosu and Kim G. Larsen and Mirco Tribastone and Max Tschaikowski and Andrea Vandin. Lumpability for Uncertain Continuous-Time Markov Chains. QEST, 2021, 391-409.</ref>。

====时间尺度分解====

====时间尺度分解====

<math>Q'_{kl}=\frac{\sum_{i\in B_k}\sum_{j\in B_l}\pi_i^{B_k}Q_{ij}}{\sum_{I\in B_k}\pi_i^{B_k}}</math>

<math>Q'_{kl}=\frac{\sum_{i\in B_k}\sum_{j\in B_l}\pi_i^{B_k}Q_{ij}}{\sum_{I\in B_k}\pi_i^{B_k}}</math>

其中<math>\pi_i^{B_k}</math>为区块<math>B_k</math>内状态的准稳态分布，该方法在生物化学网络和通信协议中广泛应用<ref name=":10">Daria Stepanova, Helen M. Byrne, Philip K. Maini, and Tomás Alarcón. A Method to Coarse-Grain Multiagent Stochastic Systems with Regions of Multistability. Multiscale Model. Simul. 2022, 20(1):404-432.</ref>。

其中<math>\pi_i^{B_k}</math>为区块<math>B_k</math>内状态的准稳态分布，该方法在生物化学网络和通信协议中广泛应用<ref name=":11">Daria Stepanova, Helen M. Byrne, Philip K. Maini, and Tomás Alarcón. A Method to Coarse-Grain Multiagent Stochastic Systems with Regions of Multistability. Multiscale Model. Simul. 2022, 20(1):404-432.</ref>。

==参考文献==

==参考文献==

<references />

<references />