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| − | ===基于成块性的粗粒化方法（未给定成块的划分的情况）===
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| − | 从前面的成块性公式（2）和例子中，我们可以直观地理解：当马尔科夫矩阵存在块状结构，或者状态明显可以被划分为几类时，根据这样的划分，该矩阵就是成块的。对于简单的<math>P</math>，如图6中的<math>\bar{P}</math>所示，我们能够根据上面的定理（1）很快的找出它的成块划分<math>\Phi</math>，并通过定义（3）迅速计算出对应的<math>P'</math>。
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| − | [[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图6：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]
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| − | 然而，在实际应用中，我们经常遇到的矩阵可能并不完美。例如，成块的矩阵的状态排序可能被打乱（如图（6）中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图6中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。
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| − | 在这种情况下，我们通常面临的是像<math>P</math>这样的矩阵。我们既无法确定它是否成块，也无法决定它的划分，甚至不知道它的马尔科夫秩。
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| − | 针对这一问题，Anru Zhang<ref name=":4">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":4" />提出了一种寻找最优划分的方法。通过这种方法，我们可以找到最优的划分，并基于这个划分判断一个马尔科夫矩阵是否成块。具体步骤如下：
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| − |
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| − | #获取一个n*n维的马尔科夫矩阵P，或者是马尔科夫链的频率采样；
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| − | #获取<math>r<n</math> 的马尔科夫秩，或指定一个<math>r</math>；
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| − | #对P进行SVD分解，<math>P = U \Sigma V^T</math>，其中U为左奇异向量，V为右奇异向量。
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| − | #通过下列公式得到最优划分 <math>\Omega_1, \Omega_2, ... , \Omega_r</math>
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| − | <math>
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| − | \Omega_1, \Omega_2, ... , \Omega_r = argmin_{\Omega_1, \Omega_2, ... , \Omega_r} min_{v_1, v_2, ... , v_r} \sum_{s=1}^r \sum_{i \in \Omega_s} || V_{[i,:r]} - v_s ||_2^2
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| − | </math>
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| − | 其中，<math>v_s</math>是第<math>s</math>类<math>\Omega_s</math>的特征向量。这个算法的核心思想是：在最优的划分中，<math>\Omega_s</math>中的状态<math>i</math>的右奇异向量会和<math>v_s</math>距离最小，也就是说，让每个微观态的右特征向量和它对应的宏观态的右特征向量尽可能接近。
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| − | 这个算法看起来非常熟悉，实际上它与 k-Means 聚类算法非常相似。让<math>v_s</math>和组里的<math>V[i:r]</math>距离最小的方法，就是让<math>v_s</math>成为<math>V[i:r]</math>这若干个点的中心。回顾一下k-Means算法把n个点聚成r类的目标函数，其中第<math>i</math>个点被归到第<math>c^i</math>类，而<math>\mu_j</math>为第<math>j</math>类点的中心点：
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| − | <math>J(c^1, ... , c^n, \mu_1, ... , \mu_r) = \sum_{i=1}^n || x_i - \mu_{c^i} ||^2 </math>
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| − | 我们看到这两个目标函数非常相似。因此，我们可以通过上述算法或 k-Means 聚类来获取最优的状态划分，进而判断马尔科夫矩阵的成块性。
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| | ==谱分解== | | ==谱分解== |
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| | + | ===基于成块性的粗粒化方法（未给定成块的划分的情况）=== |
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| | + | 从前面的成块性公式（2）和例子中，我们可以直观地理解：当马尔科夫矩阵存在块状结构，或者状态明显可以被划分为几类时，根据这样的划分，该矩阵就是成块的。对于简单的<math>P</math>，如图6中的<math>\bar{P}</math>所示，我们能够根据上面的定理（1）很快的找出它的成块划分<math>\Phi</math>，并通过定义（3）迅速计算出对应的<math>P'</math>。 |
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| | + | [[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图6：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]] |
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| | + | 然而，在实际应用中，我们经常遇到的矩阵可能并不完美。例如，成块的矩阵的状态排序可能被打乱（如图（6）中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图6中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。 |
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| | + | 在这种情况下，我们通常面临的是像<math>P</math>这样的矩阵。我们既无法确定它是否成块，也无法决定它的划分，甚至不知道它的马尔科夫秩。 |
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| | + | 针对这一问题，Anru Zhang<ref name=":4">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":4" />提出了一种寻找最优划分的方法。通过这种方法，我们可以找到最优的划分，并基于这个划分判断一个马尔科夫矩阵是否成块。具体步骤如下： |
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| | + | #获取一个n*n维的马尔科夫矩阵P，或者是马尔科夫链的频率采样； |
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| | + | #对P进行SVD分解，<math>P = U \Sigma V^T</math>，其中U为左奇异向量，V为右奇异向量。 |
| | + | #通过下列公式得到最优划分 <math>\Omega_1, \Omega_2, ... , \Omega_r</math> |
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| | + | \Omega_1, \Omega_2, ... , \Omega_r = argmin_{\Omega_1, \Omega_2, ... , \Omega_r} min_{v_1, v_2, ... , v_r} \sum_{s=1}^r \sum_{i \in \Omega_s} || V_{[i,:r]} - v_s ||_2^2 |
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| | + | 其中，<math>v_s</math>是第<math>s</math>类<math>\Omega_s</math>的特征向量。这个算法的核心思想是：在最优的划分中，<math>\Omega_s</math>中的状态<math>i</math>的右奇异向量会和<math>v_s</math>距离最小，也就是说，让每个微观态的右特征向量和它对应的宏观态的右特征向量尽可能接近。 |
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| | + | 这个算法看起来非常熟悉，实际上它与 k-Means 聚类算法非常相似。让<math>v_s</math>和组里的<math>V[i:r]</math>距离最小的方法，就是让<math>v_s</math>成为<math>V[i:r]</math>这若干个点的中心。回顾一下k-Means算法把n个点聚成r类的目标函数，其中第<math>i</math>个点被归到第<math>c^i</math>类，而<math>\mu_j</math>为第<math>j</math>类点的中心点： |
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| | + | <math>J(c^1, ... , c^n, \mu_1, ... , \mu_r) = \sum_{i=1}^n || x_i - \mu_{c^i} ||^2 </math> |
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| | + | 我们看到这两个目标函数非常相似。因此，我们可以通过上述算法或 k-Means 聚类来获取最优的状态划分，进而判断马尔科夫矩阵的成块性。 |
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