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| | ====高尔顿钉板==== | | ====高尔顿钉板==== |
| − | 这是英国科学家高尔顿（Francis Galton）发明的一种物理装置。如图所示，这个有趣的装置由一大堆钉子按照三角形形状规则排列而形成的一个钉板。钉板的上侧有一个开口，你可以从这个开口投放小钢球进来，下面则是由若干个柱状的凹槽构成，每个凹槽可以把钢球接住，并盛放起来。实验的时候，你可以从上面的开口投放小球，小球就会下落，从而碰撞到一些钉子，然后坠入底部的凹槽之内。由于小球每碰撞一次钉子，就可能从该钉子的左侧下落，或从右侧下落，进而再碰撞另一个钉子，如此循环。于是，最终落到槽中的小球就可能堆积出一个小球的分布，这个分布会形成一种中间凸起，两边凹陷的钟形曲线。这个装置是由英国科学家高尔顿发明的，用以说明概率论中的中心极限定理，因而人们就叫它“高尔顿钉板”。
| + | 高尔顿钉板是英国科学家高尔顿（Francis Galton）发明的一种物理装置。如下图（左）所示，这个有趣的装置由一大堆钉子按照三角形形状规则排列而形成的一个钉板。钉板的上侧有一个开口，你可以从这个开口投放小钢球进来，下面则是由若干个柱状的凹槽构成，每个凹槽可以把钢球接住，并盛放起来。实验的时候，你可以从上面的开口投放小球，小球就会下落，从而碰撞到一些钉子，然后坠入底部的凹槽之内。由于小球每碰撞一次钉子，就可能从该钉子的左侧下落，或从右侧下落，进而再碰撞另一个钉子，如此循环。于是，最终落到槽中的小球就可能堆积出一个小球的分布，这个分布会形成一种中间凸起，两边凹陷的钟形曲线。这个装置是由英国科学家高尔顿发明的，用以说明概率论中的中心极限定理，因而人们就叫它“高尔顿钉板”。 |
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| | + | [[文件:Galton board.png|边框|800x800像素]] |
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| − | 小球的坠落过程实际上可以被看作是一个马尔科夫链，自然也能够用状态转移图来表示。为了方便起见，我们仅仅考虑由6颗钉子，4个底部凹槽构成的高尔顿钉板来作为示例。那么，一个小球在不同的钉子之间跳跃就可以由图b所示的状态转移图表示。其中，1-6号节点对应了6颗钉子，它表示了下落的小钢球所处的状态——即刚好下落到哪一颗钉子的位置。随着下落，小球就会从上面的状态进入到下面的状态。7~10号节点对应底部的4个凹槽。一旦进入这4个节点中的任意一个，小球就不动了，因此小球就停留在当前这个节点。
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| − | 图b是一棵向下展开的树状结构，1号节点是树根，7、8、9、10号节点是树叶。随着小球一个时间步一个时间步的下落，它所处的树的深度也会相应的加深，并且，如果t=0时间步小球位于根节点的深度定义为0的话，那么，小球所处的深度就刚好对应了它下落的时间步t。
| + | 小球的坠落过程实际上可以被看作是一个马尔科夫链。为了方便起见，我们仅仅考虑由6颗钉子，4个底部凹槽构成的高尔顿钉板来作为示例（如上图右所示）。其中每一个节点对应了一颗钉子，也对应了小球在某一时刻的取值状态。一个小球在不同的钉子之间跳跃就可以由右图所示的状态转移图表示，其中连边上的数值代表从上一个节点跳转到小一个节点的概率。7~10号节点对应底部的4个凹槽。一旦进入这4个节点中的任意一个，小球就不动了，因此小球就停留在当前这个节点。在下落过程中，小球在每一层的位置只依赖于它在上一层的下落位置，因此，这也是一个马尔可夫过程。 |
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| − | 图b中每一条连边对应了从一个钉子落向另一颗钉子的跳转过程。由于随机波动，小球抵达每个钉子的时候可能稍稍偏左或者稍稍偏右，这就导致它有可能向左也可能向右继续下落。因此，从每个节点出发，向左或向右的跳转概率都是1/2。到了底层的叶节点之后，小球就落入了槽中，这样，由于小球不再运动，因此从这些叶节点出发的转移概率就只有一个指向自己的连边，且转移概率为1。
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| − | 事实上，这张状态转移图完整表示了每一个小球下落以后的随机行为。虽然，小球在每一时刻与哪一颗钉子碰撞，最终落入哪一个凹槽是不确定的，但是每一时刻的概率行为却是确定的：从任意节点出发，它进一步往左或往右下落的概率都是1/2。
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| | ====Yahtzee的骰子游戏==== | | ====Yahtzee的骰子游戏==== |