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对状态空间<math>S</math>和转移函数<math>P(t):S \rightarrow S</math>，我们需要'''一个投影函数<math>\Phi:S \rightarrow S'</math>'''，和'''一个新的转移函数<math>P'(t):S' \rightarrow S'</math>'''，而且<math>S'</math>和<math>P'</math>要符合马尔科夫链定义。

对状态空间<math>S</math>和转移函数<math>P(t):S \rightarrow S</math>，我们需要'''一个投影函数<math>\Phi:S \rightarrow S'</math>'''，和'''一个新的转移函数<math>P'(t):S' \rightarrow S'</math>'''，而且<math>S'</math>和<math>P'</math>要符合马尔科夫链定义。

我们能看出<math>\Phi</math>是一个对状态空间<math>S</math>的分组函数（得到<math>S'</math>）。而且，我们还需要把<math>P</math>降维成<math>P'</math>。如果我们对这个降维/粗粒化过程进行分解的话，我们可以看到这个过程可以被分为三步。

我们能看出<math>\Phi</math>是一个对状态空间<math>S</math>的分组函数（得到<math>S'</math>）；而且，我们还需要把<math>P</math>降维成<math>P'</math>。如果我们对这个降维/粗粒化过程进行分解的话，我们可以看到这个过程可以被分为三步。

# 划分（对状态空间进行粗粒化）：对状态进行分组，决定<math>S</math>空间中的状态要如何被投影到<math>S'</math>空间上，也就是得出<math>\Phi</math>。

# '''划分'''（对状态空间进行粗粒化）：对状态进行分组，决定<math>S</math>空间中的状态要如何被投影到<math>S'</math>空间上，也就是得出<math>\Phi</math>。

# 聚合（对转移概率进行粗粒化）：基于分组函数<math>\Phi</math>，我们要决定如何把原来的状态转移矩阵<math>P</math>降维成新的<math>P'</math>。

# '''聚合'''（对转移概率进行粗粒化）：基于分组函数<math>\Phi</math>，我们要决定如何把原来的状态转移矩阵<math>P</math>降维成新的<math>P'</math>。

# 判断粗粒化方案<math>\Phi</math>和<math>P'</math>符合什么样的性质。

# 判断粗粒化方案<math>\Phi</math>和<math>P'</math>符合什么样的性质。

===划分：对状态空间进行粗粒化===

===划分：对状态空间进行粗粒化===

我们假设投影函数<math>\Phi</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。

我们假设投影函数<math>\Phi</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件：'''(1)所有元素非负；(2)每行加和等于1。'''

马尔科夫链的粗粒化可以分成硬划分(Hard partitioning)和软划分(Soft partitioning)。硬划分是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而软划分则会有可能出现一个微观状态被分在属于多个宏观类的情况。

马尔科夫链的粗粒化可以分成硬划分(Hard partitioning)和软划分(Soft partitioning)。硬划分是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而软划分则会有可能出现一个微观状态被分在属于多个宏观类的情况。