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→尺度闭合性
<math>x_{\leq t} \equiv x_{\leq t'}\ \ \text{iff}\ \ p(z_{\gt t}| x_{\leq t}) = p(z_{\gt t'}| x_{\leq t'}) </math>
<math>x_{\leq t} \equiv x_{\leq t'}\ \ \text{iff}\ \ p(z_{\gt t}| x_{\leq t}) = p(z_{\gt t'}| x_{\leq t'}) </math>
也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(z_{\gt t}| x_{\leq t})</math> 的<math>x_{\leq t}</math> 和 <math>x_{\leq t'}</math> 定义为υ-机器的因果态 <math>U</math>：
也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(z_{\gt t}| x_{\leq t})</math> 的 <math>x_{\leq t}</math> 和 <math>x_{\leq t'}</math> 定义为υ-机器的因果态 <math>U</math>：
<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} }, U_t = υ( X_{\leq t} ) </math>
<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} }, U_t = υ( X_{\leq t} ) </math>
这三种机器的因果态有什么区别呢？首先，<math>U_t</math> 要比 <math>E'_t</math> 更强，因为后者只包括了宏观的信息，而前者同时包括了宏观和微观的信息。其次，<math>E_t</math> 要比 <math>U_t</math> 更强，因为 <math>U_t</math> 只保留了宏观的最大预测性，而 <math>E_t</math> 能保留微观的最大预测性（同时因为我们知道 <math>f</math> ，所以 <math>E_t</math> 也能保留宏观最大预测性）。
这三种机器的因果态有什么区别呢？首先，<math>U_t</math> 要比 <math>E'_t</math> 更强，因为后者只包括了宏观的信息，而前者同时包括了宏观和微观的信息。其次，<math>E_t</math> 要比 <math>U_t</math> 更强，因为 <math>U_t</math> 只保留了宏观的最大预测性，而 <math>E_t</math> 能保留微观的最大预测性（同时因为我们知道 <math>f</math> ，所以 <math>E_t</math> 也能保留宏观最大预测性）。
我们能够了解一些关于它们的推断。
推断1：微观 <math>X_{\leq t}</math> 对宏观 <math>Z_{\gt t}</math> 提供的信息量 等于 υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 提供的信息量，因为
<math>I(X_{\leq t}; Z_{\gt t})
= \sum_{x_{\leq t}} p(x_{\leq t}) D_{KL} \left ( p(z_{\gt t}|x_{\leq t}) || p(z_{\gt t}) \right )
= \sum_{u_t} p(u_t) D_{KL} \left ( p(z_{\gt t}|u_t) || p(z_{\gt t}) \right )
= I(U_t; Z_{\gt t})
</math>
推断2：υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 对宏观 <math>Z_{\gt t}</math> 提供的信息量 大于等于 宏观 ϵ-机器的因果态 <math>E'_t</math>。证明如下：
首先，<math>I(E'_t ; Z_{\gt t}) = I(Z_{\leq t}; Z_{\gt t})</math>；其次，<math>I(U_t ; Z_{\gt t}) = I(X_{\leq t}; Z_{\gt t})</math>；
因为 <math>Z_{\gt t}</math> 是 <math>X_{\gt t}</math> 的粗粒化，所以 <math>I(X_{\leq t}; Z_{\gt t})</math> 肯定比 <math>I(Z_{\leq t}; Z_{\gt t})</math> 大。因此，
<math>I(U_t ; Z_{\gt t}) = I(X_{\leq t}; Z_{\gt t}) \geq I(Z_{\leq t}; Z_{\gt t}) = I(E'_t ; Z_{\gt t})</math>。证毕。
了解了因果态的定义后，我们就能逐个了解这篇文章中的三种闭合定义。
了解了因果态的定义后，我们就能逐个了解这篇文章中的三种闭合定义。
这说明了，宏观的 <math>Z_{\leq t}</math> 和微观的 <math>X_{\leq t}</math> 给 <math>Z_{\gt t}</math> 提供的信息量是一样的。所以，<math>X_{\leq t}</math> 并不会给 <math>Z_{\gt t}</math>提供额外的信息量和额外的预测性。
这说明了，宏观的 <math>Z_{\leq t}</math> 和微观的 <math>X_{\leq t}</math> 给 <math>Z_{\gt t}</math> 提供的信息量是一样的。所以，<math>X_{\leq t}</math> 并不会给 <math>Z_{\gt t}</math>提供额外的信息量和额外的预测性。
虽然定义方式不一样，但是我们不难看出，因果闭合和信息闭合这两个对 <math>Z_t = f(X_t)</math> 的条件是等价的。原因在上面[[马尔科夫链的粗粒化|跨尺度因果态]]