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→尺度闭合性
===因果闭合 Causal Closure===
===因果闭合 Causal Closure===
因果闭合的定义为：<math>Z_t</math> 的ϵ-机器 与 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器 之间存在等价关系，即 <math>E'</math> 和 <math>U</math> 之间存在双射bijective投影关系（即两个空间内的因果态分组相互一一对应）。
因果闭合的定义为：<math>Z_t</math> 的ϵ-机器 与 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器 之间存在等价关系，即 <math>E'</math> 和 <math>U</math> 之间存在双射bijective投影关系（两个空间内的因果态分组相互一一对应）。
在这种情况下，不同 <math>X_t</math> 对 <math>Z</math> 轨迹预测的差异也会在 <math>Z_t</math> 上反映出来。也就是说，这些差异在粗粒化 <math>f</math> 过程中会被完全保留，不会被更改或抹除。
在这种情况下，不同 <math>X_t</math> 对 <math>Z</math> 轨迹预测的差异也会在 <math>Z_t</math> 上反映出来。也就是说，这些差异在粗粒化 <math>f</math> 过程中会被完全保留，不会被更改或抹除。
上面提到过ϵ-机器可以看作最小解释模型，描述了动力学的机制。所以，因果态空间 <math>E</math> 和 <math>E'</math> 可以看作是动力学的‘机制空间’。而计算闭合的一个意义就是指出，这种动力学不仅在本来的变量/状态空间中能够被粗粒化 <math>f</math> ，而且动力学的机制也能够被粗粒化 <math>f^*</math>。所以，当计算闭合时，宏观 <math>Z</math> 空间的机制能通过粗粒化微观 <math>X</math> 空间的机制而获得。
上面提到过ϵ-机器可以看作最小解释模型，描述了动力学的机制。所以，因果态空间 <math>E</math> 和 <math>E'</math> 可以看作是动力学的‘机制空间’。而计算闭合的一个意义就是指出，这种动力学不仅在本来的变量/状态空间中能够被粗粒化 <math>f</math> ，而且动力学的机制也能够被粗粒化 <math>f^*</math>。所以，当计算闭合时，宏观 <math>Z</math> 空间的机制能通过粗粒化微观 <math>X</math> 空间的机制而获得。
计算闭合的提出是为了解决如下一个问题：
计算闭合的提出是为了解决如下一个问题：
满足计算闭合的关键条件为：原自动机中，被合并的状态对合并后的输入必须有相同行为。比如，所有粗粒化到状态 <math>S_1</math> 的微观状态，在面对宏观输入 <math>A</math> 时，在下一步必须跳转到同一宏观状态。而面对宏观输入 <math>B</math> 时，则会统一跳转到另一宏观状态 <math>S_2</math>。
满足计算闭合的关键条件为：原自动机中，被合并的状态对合并后的输入必须有相同行为。比如，所有粗粒化到状态 <math>S_1</math> 的微观状态，在面对宏观输入 <math>A</math> 时，在下一步必须跳转到同一宏观状态。而面对宏观输入 <math>B</math> 时，则会统一跳转到另一宏观状态 <math>S_2</math>。
===尺度闭合 与 成块性===
在论文<ref '' \>中，作者给出了以下定理：
一个irreducible不可约，和非周期性aperiodic 的马尔科夫链 <math>X</math> ，而且 <math>Z_t=f(X_t)</math> 是对 <math>X</math> 的状态空间上定义的粗粒化函数，那 <math>X</math> 的强成块性 '''在其达到stationary稳态分布时''' 等价于 <math>H(Z_{t+1}|Z_t) = H(Z_{t+1}|X_t) </math>。
另外，<math>X</math> 的弱成块性 等价于 <math>H(Z_{t+1}|Z_t) = H(Z_{t+1}|Z_{<t}) </math>。
=划分方法=
=划分方法=