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→数学模型与公式分析
=== 定义： ===
'''渗流阈值（Percolation Threshold, pc）''' 是指在给定网络或材料结构中，某一关键占据概率下首次出现“无限连通集群”的临界点。也就是说，当连接概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]
'''渗流阈值（Percolation Threshold, pc）''' 是指在给定网络或材料结构中，某一关键占据概率下首次出现“无限连通集群”的临界点。也就是说，当连接概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]
[math]\displaystyle{ dS=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV-\sum_{i=1}^s\frac{\mu_i}{T}dN_i }[/math]
[math]\displaystyle{ dS=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV-\sum_{i=1}^s\frac{\mu_i}{T}dN_i }[/math]
=== 临界现象与普适类 ===
渗流阈值是二阶连续相变的典型代表，其临界行为满足标度律：
[math]\displaystyle{ \xi \propto |p - p_c|^{-\nu} }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ \xi }[/math] 为关联长度，[math]\displaystyle{ \nu }[/math] 是临界指数（二维：[math]\displaystyle{ \nu=4/3 }[/math]；三维：[math]\displaystyle{ \nu \approx 0.88 }[/math]）。其他关键指数：
* 无穷集群密度：[math]\displaystyle{ P_\infty \propto (p-p_c)^\beta \quad (\beta=5/36 \text{ in 2D}) }[/math]
* 平均集群大小：[math]\displaystyle{ \chi \propto |p-p_c|^{-\gamma} \quad (\gamma=43/18 \text{ in 2D}) }[/math]
相变行为对比
{| class="wikitable"
!性质
!亚临界相 ([math]\displaystyle{ p < p_c }[/math])
!超临界相 ([math]\displaystyle{ p > p_c }[/math])
|-
|最大集群
|[math]\displaystyle{ O(\log N) }[/math]
|[math]\displaystyle{ O(N) }[/math]
|-
|电导率
|[math]\displaystyle{ \sigma = 0 }[/math]
|[math]\displaystyle{ \sigma \prop
|}
生物学：在传染病模型中，流行病阈值可视为渗流模型的一种推广，描述疾病何时从局部传播变为大规模流行。
生物学：在传染病模型中，流行病阈值可视为渗流模型的一种推广，描述疾病何时从局部传播变为大规模流行。
神经科学：大脑神经网络在临界阈值附近运作（"临界大脑假说"），此时信息传递效率最优。
人工智能：神经网络剪枝中，当权重保留率 [math]\displaystyle{ p < p_c }[/math] 时，性能发生断崖式下降（2020年 Nature 研究）。