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第600行： − + − # Broadbent S R, Hammersley J M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1957. − # Stauffer D, Aharony A. Introduction to Percolation Theory. CRC Press, 2014. − # Grimmett G. Percolation (2nd ed.). Springer, 1999. − # Kesten H. Percolation Theory for Mathematicians. Birkhäuser, 1982. − # Saberi A A. Recent advances in percolation theory. Physics Reports, 2015. − # Albert R, Jeong H, Barabási A L. Error and attack tolerance of complex networks. Nature, 2000. − # Balberg I. Electrical phenomena in carbon black-polymer composites. Carbon, 2002. − # Zhang R et al. Optical percolation in nanoparticle arrays. ACS Nano, 2016. − # Montroll E W, Weiss G H. Random walks on lattices. Journal of Mathematical Physics, 1965. − # Smirnov S. Critical percolation in the plane. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 2001. − # Wu Z et al. Machine learning prediction of percolation thresholds. Nature Materials, 2023. − # Frankle J, Carbin M. The lottery ticket hypothesis. ICLR, 2019. − # Eisenman I, Wettlaufer J S. Nonlinear threshold behavior during Arctic sea ice loss. PNAS, 2009. − # Deng Y, Blöte H W J. Monte Carlo study of site-percolation. Physical Review E, 2005. − # Lorenz C D, Ziff R M. Precise bond percolation thresholds. Physical Review E, 1998. − # Jacobsen J L. High-precision percolation thresholds. J. Phys. A: Math. Theor, 2014. − # Duminil-Copin H. Sharp threshold phenomena. Proc. ICM, 2021. − # Buldyrev S V et al. Catastrophic cascade of failures. Nature, 2010. − # Sahimi M. Applications of percolation theory. Taylor & Francis, 2020.
→典型例子
'''渗流阈值（Percolation Threshold, pc）''' 是指在给定网络或材料结构中，某一关键占据概率下首次出现“无限连通集群”的临界点。也就是说，当连接概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]时，系统中的集群都是有限的；当[math]\displaystyle{ \ p >p_c }[/math] 时，有正概率形成覆盖系统的大规模连通路径。这个“突然出现”的无限集群是渗流理论中的核心相变现象，其对应于系统宏观性质（如电导、流体通量、力学性能）的突变。
'''渗流阈值（Percolation Threshold, pc）''' 是指在给定网络或材料结构中，某一关键占据概率下首次出现“无限连通集群”的临界点。也就是说，当连接概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]时，系统中的集群都是有限的；当[math]\displaystyle{ \ p >p_c }[/math] 时，有正概率形成覆盖系统的大规模连通路径。这个“突然出现”的无限集群是渗流理论中的核心相变现象，其对应于系统宏观性质（如电导、流体通量、力学性能）的突变。
在渗流理论中，'''渗流阈值'''（常用符号表示{{Math|''p''<sub>''c''</sub>}}指的是使无限系统出现从局部连接跃迁至全局连通的最小概率<ref name=":0">Stauffer D, Aharony A. Introduction to Percolation Theory. CRC Press, 2014.</ref>。当填充概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]时，系统中不会出现贯通路径，而当[math]\displaystyle{ \ p >p_c }[/math]时，出现无限集群的概率从0跃升为1，这种突变是典型的相变现象<ref name=":0" />，符合所谓的'''零一律'''（0–1law）。
在渗流理论中，'''渗流阈值'''（常用符号表示{{Math|''p''<sub>''c''</sub>}}指的是使无限系统出现从局部连接跃迁至全局连通的最小概率<ref name=":0">Broadbent S R, Hammersley J M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1957.</ref>。当填充概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]时，系统中不会出现贯通路径，而当[math]\displaystyle{ \ p >p_c }[/math]时，出现无限集群的概率从0跃升为1，这种突变是典型的相变现象<ref>Stauffer D, Aharony A. Introduction to Percolation Theory. CRC Press, 2014.</ref>，符合所谓的'''零一律'''（0–1law）。
数学上，如果将系统建模为图[math]\displaystyle{ G = (V,E) }[/math]，渗流模型会随机选择子集[math]\displaystyle{ E' \subset E }[/math]或[math]\displaystyle{ V' \subset V }[/math]，使得每条边或每个顶点以概率[math]\displaystyle{ p }[/math]被"激活"。当[math]\displaystyle{ p > p_c }[/math]时，图中几乎总是存在一条连接任意两个远点的大路径。
数学上，如果将系统建模为图[math]\displaystyle{ G = (V,E) }[/math]，渗流模型会随机选择子集[math]\displaystyle{ E' \subset E }[/math]或[math]\displaystyle{ V' \subset V }[/math]，使得每条边或每个顶点以概率[math]\displaystyle{ p }[/math]被"激活"。当[math]\displaystyle{ p > p_c }[/math]时，图中几乎总是存在一条连接任意两个远点的大路径。
'''严格定义'''
'''严格定义'''
[math]\displaystyle{ p_c = \inf \{ p \in [0,1] \mid \mathbb{P}_p(\vert C_0\vert = \infty) > 0 \} }[/math]
[math]\displaystyle{ p_c = \inf \{ p \in [0,1] \mid \mathbb{P}_p(\vert C_0\vert = \infty) > 0 \} }[/math]<ref>Grimmett G. Percolation (2nd ed.). Springer, 1999.</ref>
* [math]\displaystyle{ \inf }[/math] 表示下确界（最小上界）
* [math]\displaystyle{ \inf }[/math] 表示下确界（最小上界）
|二维方格
|二维方格
| -
| -
|[math]\displaystyle{ p_c = \frac{1}{2} }[/math]
|[math]\displaystyle{ p_c = \frac{1}{2} }[/math]<ref>Kesten H. Percolation Theory for Mathematicians. Birkhäuser, 1982.</ref>
|-
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|三角晶格
|三角晶格
|[math]\displaystyle{ p_c \approx 0.178 }[/math]
|[math]\displaystyle{ p_c \approx 0.178 }[/math]
|}
|}
==== 临界指数体系 ====
==== 临界指数体系<ref>Saberi A A. Recent advances in percolation theory. Physics Reports, 2015.</ref> ====
在 [math]\displaystyle{ p_c }[/math] 附近系统行为满足标度律：
在 [math]\displaystyle{ p_c }[/math] 附近系统行为满足标度律：
无标度网络阈值：
无标度网络阈值：
[math]\displaystyle{ p_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle} }[/math]
[math]\displaystyle{ p_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle} }[/math]<ref>Albert R, Jeong H, Barabási A L. Error and attack tolerance of complex networks. Nature, 2000.</ref>
其中 [math]\displaystyle{ P(k) \sim k^{-\gamma} }[/math] 为度分布
其中 [math]\displaystyle{ P(k) \sim k^{-\gamma} }[/math] 为度分布
|-
|-
|碳纳米管/环氧树脂
|碳纳米管/环氧树脂
|电导率突变
|电导率突变<ref>Balberg I. Electrical phenomena in carbon black-polymer composites. Carbon, 2002.</ref>
|0.002 vol%
|0.002 vol%
|10¹²倍
|10¹²倍
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|金纳米颗粒/二氧化硅
|金纳米颗粒/二氧化硅
|表面等离子共振
|表面等离子共振<ref>Zhang R et al. Optical percolation in nanoparticle arrays. ACS Nano, 2016.</ref>
|27% 面积覆盖率
|27% 面积覆盖率
|光学透射率 ↓ 80%
|光学透射率 ↓ 80%
==== 奠基时期（1950s-1960s） ====
==== 奠基时期（1950s-1960s） ====
* 1957年：Broadbent与Hammersley发表奠基论文：
* 1957年：Broadbent与Hammersley发表奠基论文<ref name=":0" />：
** 建立边渗流和点渗流模型
** 建立边渗流和点渗流模型
** 证明一维系统[math]\displaystyle{ p_c = 1 }[/math]，二维以上[math]\displaystyle{ p_c < 1 }[/math]
** 证明一维系统[math]\displaystyle{ p_c = 1 }[/math]，二维以上[math]\displaystyle{ p_c < 1 }[/math]
** 给出贝特晶格精确解：[math]\displaystyle{ p_c = \frac{1}{z-1} }[/math]
** 给出贝特晶格精确解：[math]\displaystyle{ p_c = \frac{1}{z-1} }[/math]
* 1960年：Montroll与Weiss建立渗流与随机行走关联： [math]\displaystyle{ \langle R^2 \rangle \propto t^{2/d_w} }[/math]
* 1960年：Montroll与Weiss建立渗流与随机行走关联<ref>Montroll E W, Weiss G H. Random walks on lattices. Journal of Mathematical Physics, 1965.</ref>： [math]\displaystyle{ \langle R^2 \rangle \propto t^{2/d_w} }[/math]
==== 理论突破期（1970s-1980s） ====
==== 理论突破期（1970s-1980s） ====
==== 数学严格化（1990s-2000s） ====
==== 数学严格化（1990s-2000s） ====
* 2001年：Smirnov证明三角晶格点渗流： <nowiki>[math]\displaystyle{ p_c^{\text{site}} = 2\sin\frac{\pi}{18} }[/math]</nowiki>
* 2001年：Smirnov证明三角晶格点渗流<ref>Smirnov S. Critical percolation in the plane. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 2001.</ref>： <nowiki>[math]\displaystyle{ p_c^{\text{site}} = 2\sin\frac{\pi}{18} }[/math]</nowiki>
* 2010年：Duminil-Copin解决双玻色模型： <nowiki>[math]\displaystyle{ p_c(q) = \frac{\sqrt{q}}{1+\sqrt{q}} }[/math]</nowiki>
* 2010年：Duminil-Copin解决双玻色模型： <nowiki>[math]\displaystyle{ p_c(q) = \frac{\sqrt{q}}{1+\sqrt{q}} }[/math]</nowiki>
|}
|}
* 2023年：AI预测复杂结构阈值： [math]\displaystyle{ \Delta p_c < 10^{-4} }[/math]
* 2023年：AI预测复杂结构阈值<ref>Wu Z et al. Machine learning prediction of percolation thresholds. Nature Materials, 2023.</ref>： [math]\displaystyle{ \Delta p_c < 10^{-4} }[/math]
[[文件:理论工具演进.png|缩略图|理论工具演进]]
[[文件:理论工具演进.png|缩略图|理论工具演进]]
==== 关键问题进展 ====
==== 关键问题进展 ====
|神经网络剪枝
|神经网络剪枝
|<nowiki>[math]\displaystyle{ p_c^{\text{prune}} = 0.2 + 0.05\log_{10}M }[/math]</nowiki>
|<nowiki>[math]\displaystyle{ p_c^{\text{prune}} = 0.2 + 0.05\log_{10}M }[/math]</nowiki>
|性能断崖式下降点 (M为参数量)
|性能断崖式下降点 (M为参数量)<ref>Frankle J, Carbin M. The lottery ticket hypothesis. ICLR, 2019.</ref>
|}
|}
|-
|-
|海冰连通性
|海冰连通性
|<nowiki>[math]\displaystyle{ A_{\text{ice}} < 0.15 A_{\text{total}} }[/math]</nowiki>
|<nowiki>[math]\displaystyle{ A_{\text{ice}} < 0.15 A_{\text{total}} }[/math]</nowiki><ref>Eisenman I, Wettlaufer J S. Nonlinear threshold behavior during Arctic sea ice loss. PNAS, 2009.</ref>
|生态系统崩溃
|生态系统崩溃
|-
|-
|3
|3
|6
|6
|0.3116077(4)
|0.3116077(4)<ref>Deng Y, Blöte H W J. Monte Carlo study of site-percolation. Physical Review E, 2005.</ref>
|0.2488126(5)
|0.2488126(5)
|-
|-
|6
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|12
|12
|0.109017(2),0.109016661(8)
|0.109017(2),0.109016661(8)<ref>Lorenz C D, Ziff R M. Precise bond percolation thresholds. Physical Review E, 1998.</ref>
|0.0942019(6),0.09420165(2)
|0.0942019(6),0.09420165(2)
|-
|-
|0.04018762(1),0.04018761703(6)
|0.04018762(1),0.04018761703(6)
|}
|}
随着维度增加，阈值逐渐降低，表明高维系统更容易形成贯通集群。
随着维度增加，阈值逐渐降低，表明高维系统更容易形成贯通集群。
=== '''参考资料''' ===
=== '''参考资料''' ===
<references />