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→基本概念
而在爆炸式同步中，r 会在临界耦合强度 λc 处突然从 r≈0 跳变到 r≈1，表现出不连续相变。
而在爆炸式同步中，r 会在临界耦合强度 λc 处突然从 r≈0 跳变到 r≈1，表现出不连续相变。
=== 爆炸式同步的扩展模型 ===
==== 高阶耦合模型 ====
===== 高阶正弦耦合 =====
传统Kuramoto模型只考虑一阶正弦耦合，扩展模型引入高阶谐波：
[math]\displaystyle{dθᵢ/dt = ωᵢ + λ∑ⱼAᵢⱼ∑ₙaₙsin[n(θⱼ-θᵢ)], n=1,2,... }[/math]
其中aₙ表示第n阶耦合的强度。
===== 相位滞后耦合 =====
考虑传播延迟或相位滞后的效应：
[math]\displaystyle{dθᵢ/dt = ωᵢ + λ∑ⱼAᵢⱼsin(θⱼ(t-τ)-θᵢ(t)-α) }[/math]
其中τ为时滞，α为相位滞后。
==== 自适应耦合模型 ====
===== 动态耦合强度 =====
耦合强度λ随时间或系统状态变化：
[math]\displaystyle{ dθᵢ/dt = ωᵢ + λ(t)∑ⱼAᵢⱼsin(θⱼ-θᵢ)
dλ/dt = ε(r - r₀)}[/math]
其中ε是适应速率，r₀是目标序参量。
===== 拓扑自适应 =====
网络连接随同步状态演化：
[math]\displaystyle{dθᵢ/dt = ωᵢ + λ∑ⱼAᵢⱼ(t)sin(θⱼ-θᵢ)
dAᵢⱼ/dt = η[cos(θⱼ-θᵢ) - κAᵢⱼ] }[/math]
η为适应速率，κ为衰减系数。
==== 多层网络模型 ====
===== 层级耦合结构 =====
不同层具有不同动力学或耦合：
[math]\displaystyle{ dθᵢ^α/dt = ωᵢ^α + λ₁∑ⱼAᵢⱼ^ααsin(θⱼ^α-θᵢ^α) + λ₂∑β≠αBᵢ^αβsin(θᵢ^β-θᵢ^α)}[/math]
其中上标α,β表示不同层。
===== 交互依赖网络 =====
层间存在功能依赖：
[math]\displaystyle{dθᵢ^α/dt = ωᵢ^α + λ∑ⱼAᵢⱼ^αsin(θⱼ^α-θᵢ^α) + μF(θᵢ^α,{θ^β}) }[/math]
F表示层间依赖函数。
==== 时变频率模型 ====
===== 频率适应 =====
振子频率随同步状态调整：
[math]\displaystyle{ dθᵢ/dt = ωᵢ(t) + λ∑ⱼAᵢⱼsin(θⱼ-θᵢ)
dωᵢ/dt = -γ(ωᵢ - Ωᵢ) + σr sin(ψ-θᵢ)}[/math]
γ为弛豫率，σ为适应强度。
===== 环境驱动频率 =====
外部驱动的频率调制：
[math]\displaystyle{ωᵢ(t) = ωᵢ⁰ + δω cos(Ωₑt + φᵢ) }[/math]
==== 时空扩展系统 ====
==== 连续介质模型 ====
空间连续情况下的爆炸同步：
[math]\displaystyle{ ∂θ(x,t)/∂t = ω(x) + λ∫G(|x-y|)sin[θ(y,t)-θ(x,t)]dy + D∇²θ}[/math]
G为空间耦合核，D为扩散系数
===== 移动振子模型 =====
振子在空间中移动并相互作用：
[math]\displaystyle{dθᵢ/dt = ωᵢ + λ∑ⱼAᵢⱼ(R)sin(θⱼ-θᵢ)
dxᵢ/dt = vᵢ
dvᵢ/dt = -∇U + Fᵢ^{social} }[/math]
Aᵢⱼ(R)为距离依赖的耦合。
=== 应用领域与前沿研究 ===
=== 应用领域与前沿研究 ===