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几何软配置模型[42,72]基于节点流行度与相似性定义度量距离，双曲几何成为嵌入层级结构与小世界结构的自然空间，距离编码节点连接概率，邻近节点更易连接，与随机几何图[73,74]和社交网络隐空间模型[75]思路相似。

几何软配置模型[42,72]基于节点流行度与相似性定义度量距离，双曲几何成为嵌入层级结构与小世界结构的自然空间，距离编码节点连接概率，邻近节点更易连接，与随机几何图[73,74]和社交网络隐空间模型[75]思路相似。

在牛顿版本[math]\mathbb{S}^D[/math]模型[42]中，[math]\ell=0[/math]层每个节点[math]i_0[/math]被赋予流行度变量$$\kappa_{i_0}$$（从幂律分布$$\rho(\kappa)$$抽取）和相似性空间坐标。维度$$D=1$$时，相似性空间为半径$$R_0$$的一维球面，节点$$i_0$$赋予角坐标$$\theta_{i_0}$$，定义角距离$$\Delta\theta_{i_0 j_0}$$。节点连接概率$$p_{i_0 j_0}$$遵循引力定律形式[76]：

请输入文本（连续按两次Enter键结束输入）：在牛顿版本[math]\mathbb{S}^D[/math]模型[42]中，[math]\ell=0[/math]层每个节点[math]i_0[/math]被赋予流行度变量<math>\kappa_{i_0}<\math>（从幂律分布<math>\rho(\kappa)<\math>抽取）和相似性空间坐标。维度<math>D=1<\math>时，相似性空间为半径<math>R_0<\math>的一维球面，节点<math>i_0<\math>赋予角坐标<math>\theta_{i_0}<\math>，定义角距离<math>\Delta\theta_{i_0 j_0}<\math>。节点连接概率<math>p_{i_0 j_0}<\math>遵循引力定律形式[76]：

<math>

<math>

p_{i_0 j_0} = \frac{1}{1 + X_{i_0 j_0}}

p_{i_0 j_0} = \frac{1}{1 + X_{i_0 j_0}}

其中<math>

其中<math>

X_{i_0 j_0} = \frac{(R_0 \Delta \theta_{i_0 j_0})^{\beta}}{(\mu_0 \kappa_{i_0} \kappa_{j_0})^{\max(1,\beta)}}

X_{i_0 j_0} = \frac{(R_0 \Delta \theta_{i_0 j_0})^{\beta}}{(\mu_0 \kappa_{i_0} \kappa_{j_0})^{\max(1,\beta)}}

</math>，参数$$\mu_0$$决定平均度，节点期望度与$$\kappa$$值成正比，$$\beta$$调控网络拓扑集聚性，作为逆温度参数[76,77]。

</math>，参数<math>\mu_0<\math>决定平均度，节点期望度与<math>\kappa<\math>值成正比，<math>\beta<\math>调控网络拓扑集聚性，作为逆温度参数[76,77]。

 

该模型在<math>\beta=1<\math>处呈现反常拓扑相变[77]，几何相（<math>\beta>1<\math>）中集聚系数保持有限[42]，非几何相（<math>0\leq\beta\leq1<\math>）热力学极限下集聚系数趋于零，但准几何区域<math>0.5\lessapprox\beta<1<\math>内衰减极慢[78]，表明有限规模网络保留显著集聚性，与某些真实复杂网络性质相当。

该模型在$$\beta=1$$处呈现反常拓扑相变[77]，几何相（$$\beta>1$$）中集聚系数保持有限[42]，非几何相（$$0\leq\beta\leq1$$）热力学极限下集聚系数趋于零，但准几何区域$$0.5\lessapprox\beta<1$$内衰减极慢[78]，表明有限规模网络保留显著集聚性，与某些真实复杂网络性质相当。

<math>\mathbb{S}^D<\math>模型的纯几何形式为<math>\mathbb{H}^{D+1}<\math>模型[72]，隐藏度<math>\kappa<\math>对应径向坐标<math>r<\math>，连接概率转换为仅依赖双曲空间节点间距的费米-狄拉克函数。Mercator工具[79,80]通过统计推断与机器学习技术，将真实网络嵌入此空间，生成的映射可用于可视化、分析、导航及重整化等任务。

 

$$\mathbb{S}^D$$模型的纯几何形式为$$\mathbb{H}^{D+1}$$模型[72]，隐藏度$$\kappa$$对应径向坐标$$r$$，连接概率转换为仅依赖双曲空间节点间距的费米-狄拉克函数。Mercator工具[79,80]通过统计推断与机器学习技术，将真实网络嵌入此空间，生成的映射可用于可视化、分析、导航及重整化等任务。

该模型族能解释真实网络连接性的关键特征，包括异质度分布[42,72,82]、显著集聚性[42,72,82–84]、小世界现象[42,85–87]、渗流性质[88–90]、谱特征[91]及自相似性[42]，并可扩展至生长网络[92]、加权网络[93]、二部网络[94,95]等多种网络类型。

该模型族能解释真实网络连接性的关键特征，包括异质度分布[42,72,82]、显著集聚性[42,72,82–84]、小世界现象[42,85–87]、渗流性质[88–90]、谱特征[91]及自相似性[42]，并可扩展至生长网络[92]、加权网络[93]、二部网络[94,95]等多种网络类型。

z_{i_{\ell+1}} = \sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}, \quad \theta_{i_{\ell+1}} = \frac{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell} \theta_{i_\ell}}{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}}

z_{i_{\ell+1}} = \sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}, \quad \theta_{i_{\ell+1}} = \frac{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell} \theta_{i_\ell}}{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}}

</math>

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全局参数演化如下：$$R_{\ell+1} = R_\ell / r_\ell$$，$$\mu_{\ell+1} = \mu_\ell / r^{\min(1, \beta)}$$，其中$$r$$为等大小超节点中的节点数，$$\beta$$尺度不变。该变换满足半群性质，概率$$p_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}$$保持原始形式，$$\beta>1$$时平均度$$\langle k \rangle$$按流$$\langle k \rangle_{\ell+1} = r^\nu \langle k \rangle_\ell$$演化，真实网络通常$$\nu>0$$，流趋向高连接度图；$$\nu<0$$趋向一维环；转变处$$\nu=0$$，平均度保持不变。$$\beta\leq1$$时，链接数在重整化下保持不变[71]。

请输入文本（连续按两次Enter键结束输入）：全局参数演化如下：<math>R_{\ell+1} = R_\ell / r_\ell<\math>，<math>\mu_{\ell+1} = \mu_\ell / r^{\min(1, \beta)}<\math>，其中<math>r<\math>为等大小超节点中的节点数，<math>\beta<\math>尺度不变。该变换满足半群性质，概率<math>p_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}<\math>保持原始形式，<math>\beta>1<\math>时平均度<math>\langle k \rangle<\math>按流<math>\langle k \rangle_{\ell+1} = r^\nu \langle k \rangle_\ell<\math>演化，真实网络通常<math>\nu>0<\math>，流趋向高连接度图；<math>\nu<0<\math>趋向一维环；转变处<math>\nu=0<\math>，平均度保持不变。<math>\beta\leq1<\math>时，链接数在重整化下保持不变[71]。

### 推广到带权网络

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