更改

复杂网络中的空间局部性可通过几何框架恢复[67]，将真实网络嵌入双曲空间，转化结构异质性与非局部性为局部性特征，恢复几何重整化群方法的适用性[68–71]。

复杂网络中的空间局部性可通过几何框架恢复[67]，将真实网络嵌入双曲空间，转化结构异质性与非局部性为局部性特征，恢复几何重整化群方法的适用性[68–71]。

### 几何模型

=== 几何模型 ===

几何软配置模型[42,72]基于节点间的流行度（popularity）与相似性（similarity）来定义节点间的度量距离。这些抽象维度的结合使得双曲几何成为可嵌入层级结构与小世界结构的最自然的空间。此空间中的距离编码了节点间形成连接的概率，邻近节点更倾向于连接。该方法与随机几何图[73,74]及社交网络隐空间模型[75]的思路相似。

几何软配置模型[42,72]基于节点间的流行度（popularity）与相似性（similarity）来定义节点间的度量距离。这些抽象维度的结合使得双曲几何成为可嵌入层级结构与小世界结构的最自然的空间。此空间中的距离编码了节点间形成连接的概率，邻近节点更倾向于连接。该方法与随机几何图[73,74]及社交网络隐空间模型[75]的思路相似。

图1  真实网络上几何重整化的直接与逆向方法及其结果。 a. 几何重整化（GR）变换示意图。在层级 <math> \ell = 0 <\math> 中，沿相似性圆定义 <math> r = 2 <\math> 个连续节点组成的非重叠蓝色块，从而将原 <math> N_0 <\math> 个节点划分为 <math> N_1 = N_0/r <\math> 个块，形成分区 <math> \Omega_0 <\math>。这些块被粗粒化为层级 <math> \ell = 1 <\math> 中的超节点，每个超节点的角坐标由其 <math> \ell = 0 <\math> 层构成节点所在区域确定。如方程(2)所述连接 <math> \ell = 1 <\math> 层的超节点，该过程可迭代生成 <math> \ell = 2 <\math> 层。由于半群性质， <math> \ell = 2 <\math> 层亦可直接通过 <math> r = 4 <\math> 的块从 <math> \ell = 0 <\math> 层生成。b. GR 复现人脑连接组的多尺度连通结构。基于解剖数据重建五级长度尺度的多尺度层级表示（上图）。各尺度 <math> \ell <\math> 下连接组的拓扑特性（符号）与基于最高分辨率几何映射的 GR 预测（曲线）高度吻合（下图）。从左至右依次为：互补累积度分布 <math> P_c(k_{\text{res}}) <\math>、聚类系数 <math> \bar{c}(k_{\text{res}}) <\math>、归一化最近邻平均度 <math> \bar k_{\text{nn}} (k_{\text{res}}) = \bar k_{\text{nn}}(k_\text{res}) \langle k \rangle/\langle k \rangle^2 <\math> 及富俱乐部系数 <math> r(k_{\text{res}}) <\math>。计算中采用重整化度 <math> k_{\text{res}} = k/\langle k \rangle <\math> 以消除各层级平均度差异的影响。 c. 几何分支生长过程（GBG）以自相似方式演化网络。d. GBG 是 GR 的统计逆过程：对互联网重整化层级应用 GBG 可恢复原始网络的统计等效结构；反之，对 GBG 生成的人体代谢网络替代体应用 GR 可复原原始架构。e. GR 与 GBG 的结合为单实例真实网络的有限尺寸标度研究提供方法，可数值估算临界指数。以互联网链路随机失效的键逾渗模拟为例，网络尺寸 <math> N <\math>、临界键占据概率 <math> p_c <\math> 及磁化率最大值 <math> \xi_{\text{max}} <\math> 均符合幂律关系（黑色符号为原始网络数据）。GBG 与 GR 壳层参数为分支率 <math> b = 2 <\math>、块尺寸 <math> r = 2 <\math>，结果表明互联网图存在逾渗阈值消失现象，符合无标度网络预期。图a改编自文献[70]（Springer Nature Limited）；图b转载自文献[104]（PNAS）；图c、d、e改编自文献[69]（PNAS）。

图1  真实网络上几何重整化的直接与逆向方法及其结果。 a. 几何重整化（GR）变换示意图。在层级 <math> \ell = 0 <\math> 中，沿相似性圆定义 <math> r = 2 <\math> 个连续节点组成的非重叠蓝色块，从而将原 <math> N_0 <\math> 个节点划分为 <math> N_1 = N_0/r <\math> 个块，形成分区 <math> \Omega_0 <\math>。这些块被粗粒化为层级 <math> \ell = 1 <\math> 中的超节点，每个超节点的角坐标由其 <math> \ell = 0 <\math> 层构成节点所在区域确定。如方程(2)所述连接 <math> \ell = 1 <\math> 层的超节点，该过程可迭代生成 <math> \ell = 2 <\math> 层。由于半群性质， <math> \ell = 2 <\math> 层亦可直接通过 <math> r = 4 <\math> 的块从 <math> \ell = 0 <\math> 层生成。b. GR 复现人脑连接组的多尺度连通结构。基于解剖数据重建五级长度尺度的多尺度层级表示（上图）。各尺度 <math> \ell <\math> 下连接组的拓扑特性（符号）与基于最高分辨率几何映射的 GR 预测（曲线）高度吻合（下图）。从左至右依次为：互补累积度分布 <math> P_c(k_{\text{res}}) <\math>、聚类系数 <math> \bar{c}(k_{\text{res}}) <\math>、归一化最近邻平均度 <math> \bar k_{\text{nn}} (k_{\text{res}}) = \bar k_{\text{nn}}(k_\text{res}) \langle k \rangle/\langle k \rangle^2 <\math> 及富俱乐部系数 <math> r(k_{\text{res}}) <\math>。计算中采用重整化度 <math> k_{\text{res}} = k/\langle k \rangle <\math> 以消除各层级平均度差异的影响。 c. 几何分支生长过程（GBG）以自相似方式演化网络。d. GBG 是 GR 的统计逆过程：对互联网重整化层级应用 GBG 可恢复原始网络的统计等效结构；反之，对 GBG 生成的人体代谢网络替代体应用 GR 可复原原始架构。e. GR 与 GBG 的结合为单实例真实网络的有限尺寸标度研究提供方法，可数值估算临界指数。以互联网链路随机失效的键逾渗模拟为例，网络尺寸 <math> N <\math>、临界键占据概率 <math> p_c <\math> 及磁化率最大值 <math> \xi_{\text{max}} <\math> 均符合幂律关系（黑色符号为原始网络数据）。GBG 与 GR 壳层参数为分支率 <math> b = 2 <\math>、块尺寸 <math> r = 2 <\math>，结果表明互联网图存在逾渗阈值消失现象，符合无标度网络预期。图a改编自文献[70]（Springer Nature Limited）；图b转载自文献[104]（PNAS）；图c、d、e改编自文献[69]（PNAS）。

### 几何重整化技术

=== 几何重整化技术 ===

$$\mathbb{S}^1$$或$$\mathbb{H}^1$$模型通过对网络的双曲映射迭代操作，为几何重整化群奠定基础[68-71]。在$$\ell=0$$层配置嵌入空间坐标后，通过粗粒化和重标度得到$$\ell=1$$层，涉及将相似性子空间划分为$$N_1$$个扇区，同一扇区节点成为超节点，若原始节点间存在连接则超节点间建立连边，迭代生成跨尺度重整化流。

$$\mathbb{S}^1$$或$$\mathbb{H}^1$$模型通过对网络的双曲映射迭代操作，为几何重整化群奠定基础[68-71]。在$$\ell=0$$层配置嵌入空间坐标后，通过粗粒化和重标度得到$$\ell=1$$层，涉及将相似性子空间划分为$$N_1$$个扇区，同一扇区节点成为超节点，若原始节点间存在连接则超节点间建立连边，迭代生成跨尺度重整化流。

全局参数演化如下：<math>R_{\ell+1} = R_\ell / r_\ell<\math>，<math>\mu_{\ell+1} = \mu_\ell / r^{\min(1, \beta)}<\math>，其中<math>r<\math>为等大小超节点中的节点数，<math>\beta<\math>尺度不变。该变换满足半群性质，概率<math>p_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}<\math>保持原始形式，<math>\beta>1<\math>时平均度<math>\langle k \rangle<\math>按流<math>\langle k \rangle_{\ell+1} = r^\nu \langle k \rangle_\ell<\math>演化，真实网络通常<math>\nu>0<\math>，流趋向高连接度图；<math>\nu<0<\math>趋向一维环；转变处<math>\nu=0<\math>，平均度保持不变。<math>\beta\leq1<\math>时，链接数在重整化下保持不变[71]。

全局参数演化如下：<math>R_{\ell+1} = R_\ell / r_\ell<\math>，<math>\mu_{\ell+1} = \mu_\ell / r^{\min(1, \beta)}<\math>，其中<math>r<\math>为等大小超节点中的节点数，<math>\beta<\math>尺度不变。该变换满足半群性质，概率<math>p_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}<\math>保持原始形式，<math>\beta>1<\math>时平均度<math>\langle k \rangle<\math>按流<math>\langle k \rangle_{\ell+1} = r^\nu \langle k \rangle_\ell<\math>演化，真实网络通常<math>\nu>0<\math>，流趋向高连接度图；<math>\nu<0<\math>趋向一维环；转变处<math>\nu=0<\math>，平均度保持不变。<math>\beta\leq1<\math>时，链接数在重整化下保持不变[71]。

### 推广到带权网络

=== 推广到带权网络 ===

通过保持权重与度关系的变换，网络权重结构在重整化群流中得以保留，产生几何权重重整化（GRW）技术[70]，可对加权网络结构进行多尺度展开[105,106]，形成自相似层级，数学基础在于加权$$W\mathbb{S}^D$$模型的可重整化性[93]。实际操作中常选择重整化链接最大权重作为近似方法，在代谢网络、航班网络、科学合作网络等异质度分布加权网络中，使用sup-GRW策略或基于其理论的变换[70]进行粗粒化和重标度时，可观察到几何标度行为。

通过保持权重与度关系的变换，网络权重结构在重整化群流中得以保留，产生几何权重重整化（GRW）技术[70]，可对加权网络结构进行多尺度展开[105,106]，形成自相似层级，数学基础在于加权$$W\mathbb{S}^D$$模型的可重整化性[93]。实际操作中常选择重整化链接最大权重作为近似方法，在代谢网络、航班网络、科学合作网络等异质度分布加权网络中，使用sup-GRW策略或基于其理论的变换[70]进行粗粒化和重标度时，可观察到几何标度行为。

### 自相似细粒化

=== 自相似细粒化 ===

几何分支生长（GBG）模型[69]作为几何重整化的逆向技术，能准确预测世界贸易网和期刊引文网络等增长网络的自相似行为，通过生成自相似度量推广复制网络原始结构，可扩展至任意大网络规模。

几何分支生长（GBG）模型[69]作为几何重整化的逆向技术，能准确预测世界贸易网和期刊引文网络等增长网络的自相似行为，通过生成自相似度量推广复制网络原始结构，可扩展至任意大网络规模。

设$$\mu_{\ell-1} = b\mu_\ell$$，迭代应用GBG模型生成细粒化自相似层级，保留原始经验连接概率、度分布、集聚系数和社区结构，平均度减小。添加额外链接并设置$$\mu_{\ell-1} = a\mu_{\ell-1}$$（$$a>1$$）得到膨胀版本，避免平均度快速减小。GBG是积分重整化的统计逆过程，膨胀GBG是收缩几何重整化的统计逆过程，加权和非加权$$\mathbb{S}^1$$模型的重整化复现真实网络多尺度自相似性，表明相同原则决定不同尺度网络连接性。

设$$\mu_{\ell-1} = b\mu_\ell$$，迭代应用GBG模型生成细粒化自相似层级，保留原始经验连接概率、度分布、集聚系数和社区结构，平均度减小。添加额外链接并设置$$\mu_{\ell-1} = a\mu_{\ell-1}$$（$$a>1$$）得到膨胀版本，避免平均度快速减小。GBG是积分重整化的统计逆过程，膨胀GBG是收缩几何重整化的统计逆过程，加权和非加权$$\mathbb{S}^1$$模型的重整化复现真实网络多尺度自相似性，表明相同原则决定不同尺度网络连接性。

### 应用

=== 应用 ===

几何重整化与GBG模型结合实现全尺度网络自上而下的多尺度展开，应用包括设计提升单尺度方法性能的多尺度导航[68]，生成保持统计特性的真实网络缩放副本[68,69]，用于研究尺寸依赖现象，如尺寸诱导的随机共振效应、通过有限尺度标度技术分析临界行为[69]，以及模型降阶以进行高保真模拟。

几何重整化与GBG模型结合实现全尺度网络自上而下的多尺度展开，应用包括设计提升单尺度方法性能的多尺度导航[68]，生成保持统计特性的真实网络缩放副本[68,69]，用于研究尺寸依赖现象，如尺寸诱导的随机共振效应、通过有限尺度标度技术分析临界行为[69]，以及模型降阶以进行高保真模拟。

复杂网络重整化的另一方法[35,108]利用节点间拉普拉斯扩散概念[109,110]，通过实时检测多尺度结构实现顶点和边的粗粒化，最终重整化网络上的动力学模型。该框架可建立直观的实空间版本，类似于统计物理中的Migdal-Kadanoff重整化群方法[111,112]，同时遵循Wilson重整化群思想[113]建立严格的对偶空间或k空间表述，两种表述均通过迭代粗粒化网络，在大尺度范围内保持扩散动力学性质。

复杂网络重整化的另一方法[35,108]利用节点间拉普拉斯扩散概念[109,110]，通过实时检测多尺度结构实现顶点和边的粗粒化，最终重整化网络上的动力学模型。该框架可建立直观的实空间版本，类似于统计物理中的Migdal-Kadanoff重整化群方法[111,112]，同时遵循Wilson重整化群思想[113]建立严格的对偶空间或k空间表述，两种表述均通过迭代粗粒化网络，在大尺度范围内保持扩散动力学性质。

### 将拉普拉斯扩散视为近邻检测

=== 将拉普拉斯扩散视为近邻检测 ===

构建异构无向网络拉普拉斯重整化群（LRG）方法的第一步是利用对称图拉普拉斯算子[110,114]$$L^{(0)}$$定义节点在固定尺度下的“等效”邻域。该算子在初始层级$$\ell=0$$由邻接矩阵$$A^{(0)}$$构造，矩阵元素为<math>L_{i_0j_0}^{(0)} = k_{i_0}\delta_{i_0j_0} - A_{i_0j_0}^{(0)}</math>，其中$$\delta_{i_0j_0}$$为Kronecker delta，$$k_{i_0}$$为节点度。

构建异构无向网络拉普拉斯重整化群（LRG）方法的第一步是利用对称图拉普拉斯算子[110,114]$$L^{(0)}$$定义节点在固定尺度下的“等效”邻域。该算子在初始层级$$\ell=0$$由邻接矩阵$$A^{(0)}$$构造，矩阵元素为<math>L_{i_0j_0}^{(0)} = k_{i_0}\delta_{i_0j_0} - A_{i_0j_0}^{(0)}</math>，其中$$\delta_{i_0j_0}$$为Kronecker delta，$$k_{i_0}$$为节点度。

其中扩散演化算子$$K^{(0)}(\tau) \equiv \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}$$，矩阵元素$$K_{i_0j_0}^{(0)}$$给出场在时间$$\tau$$内从节点$$j_0$$到$$i_0$$通过所有可能路径的扩散比例[115,116]。

其中扩散演化算子$$K^{(0)}(\tau) \equiv \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}$$，矩阵元素$$K_{i_0j_0}^{(0)}$$给出场在时间$$\tau$$内从节点$$j_0$$到$$i_0$$通过所有可能路径的扩散比例[115,116]。

### 实空间中的拉普拉斯重整化群

=== 实空间中的拉普拉斯重整化群 ===

基于物理诠释，利用$$K^{(0)}(\tau)$$将原始网络$$\ell=0$$的$$N_0$$个节点在任意时刻$$\tau$$划分为$$N_1$$个“扩散等效”子图，粗粒化为超节点定义下一层级$$\ell=1$$网络，通过剪裁微观连边关系确定超节点间重整化后的边。

基于物理诠释，利用$$K^{(0)}(\tau)$$将原始网络$$\ell=0$$的$$N_0$$个节点在任意时刻$$\tau$$划分为$$N_1$$个“扩散等效”子图，粗粒化为超节点定义下一层级$$\ell=1$$网络，通过剪裁微观连边关系确定超节点间重整化后的边。

需注意$$\zeta^{(0)}(\tau=0)$$为单位矩阵，$$\tau\to\infty$$时所有元素为1。对固定$$\tau^*>0$$，矩阵$$\zeta^{(0)}(\tau^*)$$视为原网络超图的邻接矩阵，包含$$N_1$$个在尺度$$\tau^*$$上通过扩散连接的连通分支，将$$N_0$$个节点划分为$$N_1<N_0$$个超节点。$$\tau^*$$越大，连通分支数量越少且规模越大，$$\tau^*\to\infty$$时仅存单一分支。基于粗粒化加权邻接矩阵$$W^{(1)}$$可通过定义超节点间加权超边构造，权重等于连接对应细尺度簇的微边权重归一化总和，亦可采用统计物理粗粒化中的一致性裁剪方法获取二值邻接矩阵$$A^{(1)}$$，整个过程可迭代执行定义更高层级。

需注意$$\zeta^{(0)}(\tau=0)$$为单位矩阵，$$\tau\to\infty$$时所有元素为1。对固定$$\tau^*>0$$，矩阵$$\zeta^{(0)}(\tau^*)$$视为原网络超图的邻接矩阵，包含$$N_1$$个在尺度$$\tau^*$$上通过扩散连接的连通分支，将$$N_0$$个节点划分为$$N_1<N_0$$个超节点。$$\tau^*$$越大，连通分支数量越少且规模越大，$$\tau^*\to\infty$$时仅存单一分支。基于粗粒化加权邻接矩阵$$W^{(1)}$$可通过定义超节点间加权超边构造，权重等于连接对应细尺度簇的微边权重归一化总和，亦可采用统计物理粗粒化中的一致性裁剪方法获取二值邻接矩阵$$A^{(1)}$$，整个过程可迭代执行定义更高层级。

### k-空间上的拉普拉斯重整化群

=== k-空间上的拉普拉斯重整化群 ===

该公式化过程与Wilson在连续场论中的重整化群方法直接类比[119]，体现半群性质，是实空间LRG在傅里叶空间的对应，傅里叶基由拉普拉斯特征向量给出，波模态由拉普拉斯特征值替代，在规则格点上特征向量与平面波傅里叶基一致，特征值简化为$$k^2$$。

该公式化过程与Wilson在连续场论中的重整化群方法直接类比[119]，体现半群性质，是实空间LRG在傅里叶空间的对应，傅里叶基由拉普拉斯特征向量给出，波模态由拉普拉斯特征值替代，在规则格点上特征向量与平面波傅里叶基一致，特征值简化为$$k^2$$。

特征向量完备性保证粗粒化变量定义的合理性，后续步骤按Wilson范式[113]实现重整化程序：设定时间$$\tau^*$$确定新分辨率尺度，将拉普拉斯谱划分为“快”特征值$$\lambda_i^{(0)} \geq \lambda^* = 1/\tau^*$$和“慢”特征值$$\lambda_i^{(0)} < \lambda^*$$，积掉“快”区域，重定义慢特征向量贡献的截断拉普拉斯算子，重新计算时间标度使$$\tau^*$$对应粗粒化拉普拉斯算子重整化至层级$$\ell=1$$，迭代生成所有层级的重整化拉普拉斯算子。

特征向量完备性保证粗粒化变量定义的合理性，后续步骤按Wilson范式[113]实现重整化程序：设定时间$$\tau^*$$确定新分辨率尺度，将拉普拉斯谱划分为“快”特征值$$\lambda_i^{(0)} \geq \lambda^* = 1/\tau^*$$和“慢”特征值$$\lambda_i^{(0)} < \lambda^*$$，积掉“快”区域，重定义慢特征向量贡献的截断拉普拉斯算子，重新计算时间标度使$$\tau^*$$对应粗粒化拉普拉斯算子重整化至层级$$\ell=1$$，迭代生成所有层级的重整化拉普拉斯算子。

### 扩散演化算子的统计物理学解释

=== 扩散演化算子的统计物理学解释 ===

算子$$K^{(0)}(\tau)$$可用于构建网络的“本征尺度扫描仪”，具备平衡态统计物理中熵敏感性或热容的数学特性，其显著极大值（无限尺寸极限下发散）表明网络结构组织中的相变。具体而言，$$K^{(0)}(\tau)$$的特征值$$\{e^{-\lambda_i^{(0)} \tau}\}$$用于定义实时概率密度函数$$p(\lambda; \tau)$$，对应的香农熵$$S(\tau)$$可形式化为冯·诺依曼熵，与量子正则密度算子相关，$$L^{(0)}$$扮演哈密顿量角色，$$\tau$$对应逆温度[130,131]，配分函数$$Z(\tau)$$与自由能$$F(\tau)$$相关。

算子$$K^{(0)}(\tau)$$可用于构建网络的“本征尺度扫描仪”，具备平衡态统计物理中熵敏感性或热容的数学特性，其显著极大值（无限尺寸极限下发散）表明网络结构组织中的相变。具体而言，$$K^{(0)}(\tau)$$的特征值$$\{e^{-\lambda_i^{(0)} \tau}\}$$用于定义实时概率密度函数$$p(\lambda; \tau)$$，对应的香农熵$$S(\tau)$$可形式化为冯·诺依曼熵，与量子正则密度算子相关，$$L^{(0)}$$扮演哈密顿量角色，$$\tau$$对应逆温度[130,131]，配分函数$$Z(\tau)$$与自由能$$F(\tau)$$相关。

该形式类比的直接推论是量<math>C(\tau)=-\frac{\mathrm{d} S(\tau)}{\mathrm{d} \log \tau}</math>具有熵敏感性，是热容[15,129]，节点数无穷大极限下，相变点解释为$$C(\tau)$$在特征尺度$$\tau^*$$处的奇异性，$$\tau^*$$是网络拓扑突变的内蕴尺度，类似Ising模型中关联长度尺度，$$C(\tau)$$可作为本征尺度探测器，通过识别网络结构拓扑转变的特征尺度诱导粗粒化过程[132]。

该形式类比的直接推论是量<math>C(\tau)=-\frac{\mathrm{d} S(\tau)}{\mathrm{d} \log \tau}</math>具有熵敏感性，是热容[15,129]，节点数无穷大极限下，相变点解释为$$C(\tau)$$在特征尺度$$\tau^*$$处的奇异性，$$\tau^*$$是网络拓扑突变的内蕴尺度，类似Ising模型中关联长度尺度，$$C(\tau)$$可作为本征尺度探测器，通过识别网络结构拓扑转变的特征尺度诱导粗粒化过程[132]。

### 拓扑标度不变网络

=== 拓扑标度不变网络 ===

当拉普拉斯特征值密度$$\omega(\lambda)\sim\lambda^\nu$$时，网络具有拓扑标度不变性，其中$$\nu=d_S/2-1$$，$$d_S$$为拉普拉斯谱维度[133]，此时熵敏感性与$$\tau$$无关，保持恒定值$$C(\tau)=d_S/2$$[35]，这种$$\tau$$无关性在规则格点、随机树及分层模块化网络[134]中出现。根据拉普拉斯重整化群定义，所有拓扑尺度不变网络在拉普拉斯尺度变换和粗粒化下保持相同拓扑结构[135]，因此$$C(\tau)$$可作为实际网络尺度不变性的探测器，常数值直接用于度量谱维度。

当拉普拉斯特征值密度$$\omega(\lambda)\sim\lambda^\nu$$时，网络具有拓扑标度不变性，其中$$\nu=d_S/2-1$$，$$d_S$$为拉普拉斯谱维度[133]，此时熵敏感性与$$\tau$$无关，保持恒定值$$C(\tau)=d_S/2$$[35]，这种$$\tau$$无关性在规则格点、随机树及分层模块化网络[134]中出现。根据拉普拉斯重整化群定义，所有拓扑尺度不变网络在拉普拉斯尺度变换和粗粒化下保持相同拓扑结构[135]，因此$$C(\tau)$$可作为实际网络尺度不变性的探测器，常数值直接用于度量谱维度。