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== 多尺度网络的重整化 ==

== 多尺度网络的重整化 ==

多尺度网络重整化方法[137–139] 旨在引入在任意节点聚合下保持一致的随机图模型。其动机源于两个相关的考虑。一方面，对于给定的网络，不同的节点划分可能因不同原因而具有相关性，例如，本文中讨论的多种方法可能会产生不同的节点粗粒化方式，因此，需要在多种可能的节点聚合方式下对同一系统进行一致建模。另一方面，在真实世界的网络数据中，“节点”的含义并非总是同质的，也就是说，有时尽管大多数节点代表某个层级上观察到的系统单元（例如制造生产网络中的单个公司），但其他节点却可能代表更粗层级的聚合（例如整个行业或国家，每个都聚合体了多家公司）。这两种场景提示，所研究的系统应拥有一个唯一的随机图模型，该模型在任意节点聚合（或节点拆解）后仍能够具备一致性（即生成一致的图概率分布）。

多尺度网络重整化方法<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref><ref name="Avena_inhomogeneous_2022">{{cite journal|author1=Avena, L.|author2=Garlaschelli, D.|author3=Hazra, R. S.|author4=Lalli, M.|title=Inhomogeneous random graphs with infinite-mean fitness variables|journal=Preprint at arXiv|year=2022|url=}}</ref><ref name="Lalli_geometry-free_2024">{{cite journal|author1=Lalli, M.|author2=Garlaschelli, D.|title=Geometry-free renormalization of directed networks: scale-invariance and reciprocity|journal=Preprint at arXiv|year=2024|url=}}</ref> 旨在引入在任意节点聚合下保持一致的随机图模型。其动机源于两个相关的考虑。一方面，对于给定的网络，不同的节点划分可能因不同原因而具有相关性，例如，本文中讨论的多种方法可能会产生不同的节点粗粒化方式，因此，需要在多种可能的节点聚合方式下对同一系统进行一致建模。另一方面，在真实世界的网络数据中，“节点”的含义并非总是同质的，也就是说，有时尽管大多数节点代表某个层级上观察到的系统单元（例如制造生产网络中的单个公司），但其他节点却可能代表更粗层级的聚合（例如整个行业或国家，每个都聚合体了多家公司）。这两种场景提示，所研究的系统应拥有一个唯一的随机图模型，该模型在任意节点聚合（或节点拆解）后仍能够具备一致性（即生成一致的图概率分布）。

这一要求意味着，多尺度重整化方法应当对粗粒化变量的定义保持完全不可知，也就是说，人们可以任意“平铺”节点集，引入任何所需的划分 <math>\Omega_0</math>，而不依赖于度量或扩散邻近性的概念。对于平均掉细微细节的过程，原则上该方法应允许不同的选择，但具体而言，考虑到某些应用中构成节点（如单个公司）之间的任何连接对定义超节点（如国家或经济部门）之间的联系具有重要性，因此选择了方程 (2) 中的方案[137]。无论如何，多尺度方法的独特之处在于识别出重整化群流的不动点，在该不动点上可以对任意节点聚合方式进行耦合系数和参数值的精确重整化，本节将对此进行阐释。

这一要求意味着，多尺度重整化方法应当对粗粒化变量的定义保持完全不可知，也就是说，人们可以任意“平铺”节点集，引入任何所需的划分 <math>\Omega_0</math>，而不依赖于度量或扩散邻近性的概念。对于平均掉细微细节的过程，原则上该方法应允许不同的选择，但具体而言，考虑到某些应用中构成节点（如单个公司）之间的任何连接对定义超节点（如国家或经济部门）之间的联系具有重要性，因此选择了方程 (2) 中的方案<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref>。无论如何，多尺度方法的独特之处在于识别出重整化群流的不动点，在该不动点上可以对任意节点聚合方式进行耦合系数和参数值的精确重整化，本节将对此进行阐释。

=== 节点聚合下的不变性 ===

=== 节点聚合下的不变性 ===

所求的聚合不变随机图概念在思想上类似于稳定随机变量[140-142]，即组合后仍服从相同分布的随机变量（例如求和[141,142]或取极大值后[143,144]）。此处使用在粗粒化方法小节末尾所引入的符号：考虑以概率 <math>P_\ell\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)</math>生成具体实现 <math>A^{(\ell)}</math>的随机图系综，其中 <math>\Theta_\ell</math>是模型所有参数的集合。给定概率分布 <math>P_\ell\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)</math>和任意划分 <math>\Omega_\ell</math>，可在高一层级 <math>\ell+1</math>导出结果一个图系综由特定概率分布 <math>P_{\ell}\left(A^{(\ell-1)} \mid \Theta_\ell\right)</math>描述（图3a）。多尺度重整化方法[147]的核心思想是：识别在所有层次和所有可能的划分下保持不变的图概率分布函数的形式（因此可从 <math>P_{\ell}</math>中省略下标 <math>\ell</math>）。只有（重整化）参数 <math>\Theta_{\ell+1}</math>允许依赖层级 <math>\ell+1</math>，且通常是通过 <math>\Omega_\ell</math>与 <math>\Theta_\ell</math>关联。该条件对应于通过在图概率空间中识别重整化群流不动点来实现参数的精确重整化。

所求的聚合不变随机图概念在思想上类似于稳定随机变量[140-142]，即组合后仍服从相同分布的随机变量（例如求和<ref name="Samorodnitsky_stable_1994">{{cite book|author1=Samorodnitsky, G.|author2=Taqqu, M. S.|title=Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models with Infinite Variance|publisher=Chapman & Hall|year=1994|url=}}</ref><ref name="Lévy_addition_1939">{{cite journal|author1=Lévy, P.|title=L'addition des variables aléatoires définies sur une circonférence|journal=Bull. Soc. Math. Fr.|year=1939|volume=67|url=}}</ref>或取极大值后<ref name="Balkema_max-infinite_1977">{{cite journal|author1=Balkema, A. A.|author2=Resnick, S. I.|title=Max-infinite divisibility|journal=J. Appl. Probab.|year=1977|volume=14|url=}}</ref><ref name="Giné_max-infinitely_1990">{{cite journal|author1=Giné, E.|author2=Hahn, M. G.|author3=Vatan, P.|title=Max-infinitely divisible and max-stable sample continuous processes|journal=Probab. Theory Relat. Fields|year=1990|volume=87|url=}}</ref>）。此处使用在粗粒化方法小节末尾所引入的符号：考虑以概率 <math>P_\ell\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)</math>生成具体实现 <math>A^{(\ell)}</math>的随机图系综，其中 <math>\Theta_\ell</math>是模型所有参数的集合。给定概率分布 <math>P_\ell\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)</math>和任意划分 <math>\Omega_\ell</math>，可在高一层级 <math>\ell+1</math>导出结果一个图系综由特定概率分布 <math>P_{\ell}\left(A^{(\ell-1)} \mid \Theta_\ell\right)</math>描述（图3a）。多尺度重整化方法<ref name="Garlaschelli_multispecies_2006">{{cite journal|author1=Garlaschelli, D.|author2=Loffredo, M. I.|title=Multispecies grand-canonical models for networks with reciprocity|journal=Phys. Rev. E|year=2006|volume=73|url=}}</ref>的核心思想是：识别在所有层次和所有可能的划分下保持不变的图概率分布函数的形式（因此可从 <math>P_{\ell}</math>中省略下标 <math>\ell</math>）。只有（重整化）参数 <math>\Theta_{\ell+1}</math>允许依赖层级 <math>\ell+1</math>，且通常是通过 <math>\Omega_\ell</math>与 <math>\Theta_\ell</math>关联。该条件对应于通过在图概率空间中识别重整化群流不动点来实现参数的精确重整化。

图3 多尺度网络重整化方法。 a. 给定邻接矩阵为 <math>A^{(\ell)}</math> 、参数集为 <math>\Theta_{\ell}</math> 的图概率分布 <math>P_{\ell}(A^{(\ell)} | \Theta_{\ell})</math> ，节点划分 <math>\Omega_{\ell}</math> 将节点集映射到粗粒化邻接矩阵 <math>A^{(\ell+1)}</math> 的“块节点”上。若存在从 <math>i_{\ell}</math> 到 <math>j_{\ell}</math> 的连接（其中 <math>i_{\ell} \in I_{\ell+1}, j_{\ell} \in J_{\ell+1}</math> ），则绘制该连接。需注意，层级 <math>\ell</math> 的多个图可能在层级 <math>\ell+1</math> 合并为同一图，因此粗粒化将诱导下一层级图的新概率分布 <math>P_{\ell+1}(A^{(\ell+1)} | \Theta_{\ell+1})</math> 。多尺度方法旨在寻找该概率的尺度不变形式。 b. 基于多尺度模型预测重整化国际贸易网络在不同地理聚合层级的局域拓扑性质。首行展示三个代表性层级（ <math>\ell_1, \ell_2, \ell_3</math> ，对应 <math>N_{\ell_1} = 183</math> （左）、 <math>N_{\ell_2} = 100</math> （中）、 <math>N_{\ell_3} = 50</math> （右））中所有 <math>N_{\ell}</math> 个节点的观测与预测度值 <math>k_{i_{\ell}}</math> 随 <math>\ln(\text{GDP}_{i_{\ell}})</math> 的变化。中间行对应相同层级下所有节点的观测与预测最近邻平均度 <math>k_{i_{\ell}}^{\text{nn}}</math> 。末行展示相同条件下局域聚类系数 <math>c_{i_{\ell}}</math> 的观测与预测值。GDP 表示国内生产总值。图转载自文献[137]，遵循 CC BY 4.0 协议。

图3 多尺度网络重整化方法。 a. 给定邻接矩阵为 <math>A^{(\ell)}</math> 、参数集为 <math>\Theta_{\ell}</math> 的图概率分布 <math>P_{\ell}(A^{(\ell)} | \Theta_{\ell})</math> ，节点划分 <math>\Omega_{\ell}</math> 将节点集映射到粗粒化邻接矩阵 <math>A^{(\ell+1)}</math> 的“块节点”上。若存在从 <math>i_{\ell}</math> 到 <math>j_{\ell}</math> 的连接（其中 <math>i_{\ell} \in I_{\ell+1}, j_{\ell} \in J_{\ell+1}</math> ），则绘制该连接。需注意，层级 <math>\ell</math> 的多个图可能在层级 <math>\ell+1</math> 合并为同一图，因此粗粒化将诱导下一层级图的新概率分布 <math>P_{\ell+1}(A^{(\ell+1)} | \Theta_{\ell+1})</math> 。多尺度方法旨在寻找该概率的尺度不变形式。 b. 基于多尺度模型预测重整化国际贸易网络在不同地理聚合层级的局域拓扑性质。首行展示三个代表性层级（ <math>\ell_1, \ell_2, \ell_3</math> ，对应 <math>N_{\ell_1} = 183</math> （左）、 <math>N_{\ell_2} = 100</math> （中）、 <math>N_{\ell_3} = 50</math> （右））中所有 <math>N_{\ell}</math> 个节点的观测与预测度值 <math>k_{i_{\ell}}</math> 随 <math>\ln(\text{GDP}_{i_{\ell}})</math> 的变化。中间行对应相同层级下所有节点的观测与预测最近邻平均度 <math>k_{i_{\ell}}^{\text{nn}}</math> 。末行展示相同条件下局域聚类系数 <math>c_{i_{\ell}}</math> 的观测与预测值。GDP 表示国内生产总值。图转载自文献<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref>，遵循 CC BY 4.0 协议。

=== 带独立边的多尺度模型 ===

=== 带独立边的多尺度模型 ===

<math>P\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)=\prod_{i_\ell,j_\ell}^n\left[p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)\right]^{A_{i_\ell,j_\ell}^{(\ell)}}\left[1-p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)\right]^{1-A_{i_\ell,j_\ell}^{(\ell)}}, \tag{10}</math>

<math>P\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)=\prod_{i_\ell,j_\ell}^n\left[p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)\right]^{A_{i_\ell,j_\ell}^{(\ell)}}\left[1-p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)\right]^{1-A_{i_\ell,j_\ell}^{(\ell)}}, \tag{10}</math>

多尺度模型（multiscale model，MSM）[137]可定义为连接概率空间中重整化群流的唯一非平凡不动点，即在方程(2)下满足尺度不变性要求的解：

多尺度模型（multiscale model，MSM）<ref name="Garuccio_multiscale_2023">{{cite journal|author1=Garuccio, E.|author2=Lalli, M.|author3=Garlaschelli, D.|title=Multiscale network renormalization: scale-invariance without geometry|journal=Phys. Rev. Res.|year=2023|volume=5|url=}}</ref>可定义为连接概率空间中重整化群流的唯一非平凡不动点，即在方程(2)下满足尺度不变性要求的解：

<math>p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_{\ell}\right)=\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\delta x_{i_\ell} x_{j_\ell} f\left(d_{i_\ell j_{\ell}}\right)}, & i_{\ell} \neq j_{\ell}; \\ 1-\mathrm{e}^{-\delta x_{i_\ell}^2 f\left(d_{i_\ell j_{\ell}}\right)/2}, & i_{\ell}=j_{\ell}, \end{cases} \tag{11}</math>

<math>p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_{\ell}\right)=\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\delta x_{i_\ell} x_{j_\ell} f\left(d_{i_\ell j_{\ell}}\right)}, & i_{\ell} \neq j_{\ell}; \\ 1-\mathrm{e}^{-\delta x_{i_\ell}^2 f\left(d_{i_\ell j_{\ell}}\right)/2}, & i_{\ell}=j_{\ell}, \end{cases} \tag{11}</math>