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=== 扩散演化算子的统计物理学解释 ===

=== 扩散演化算子的统计物理学解释 ===

算子 <math>K^{(0)}(\tau)</math>可用于构建网络的“本征尺度扫描仪”。该“扫描仪”具备平衡态统计物理中熵敏感性或热容的全部数学特性，其显著极大值（在无限尺寸极限下发散）能够表明网络结构组织中的一类相变。具体而言， <math>K^{(0)}(\tau)</math>的特征值 <math>\{e^{-\lambda_i^{(0)} \tau}\}_{i=1}^{N_0}</math>可用来定义实时的概率密度函数 <math>p(\lambda; \tau) = \sum_{i=1}^{N_0} \delta(\lambda - \lambda_i^{(0)}) e^{-\lambda_i^{(0)} \tau} / Z(\tau)</math>，其中配分函数 <math>Z(\tau) = \sum_{i=1}^{N_0} e^{-\lambda_i^{(0)} \tau}</math>， <math>\delta(\lambda)</math>为狄拉克δ函数。该测度对应的香农熵为 <math>S(\tau) = -\sum_{i=1}^{N_0} p(\lambda_i^{(0)}; \tau) \log [p(\lambda_i^{(0)}; t)]</math>。由于无向网络的 <math>L^{(0)}</math>为厄米且半正定， <math>S(\tau)</math>可形式化视为冯·诺依曼熵 <math>S[\rho(\tau)] = -\operatorname{Tr} [\rho(\tau) \log \rho(\tau)]</math>，与量子正则密度算子 <math>\rho(\tau) = K^{(0)}(\tau) / \mathrm{Tr} [K^{(0)}(\tau)]</math>相关联（参考文献109,128,129），此处 <math>L^{(0)}</math>扮演哈密顿量角色， <math>\tau</math>则对应逆温度<ref name="Binney_theory_1992">{{cite book|author1=Binney, J. J.|author2=Dowrick, N. J.|author3=Fisher, A. J.|author4=Newman, M. E.|title=The Theory of Critical Phenomena: An Introduction to the Renormalization Group|publisher=Oxford Univ. Press|year=1992|url=}}</ref><ref name="Pathria_statistical_2011">{{cite book|author1=Pathria, R. K.|author2=Beale, P. D.|title=Statistical Mechanics|publisher=Elsevier/Academic|year=2011|url=}}</ref>。等价地，配分函数 <math>Z(\tau) = \operatorname{Tr} [K^{(0)}(\tau)]</math>通过 <math>F(\tau) = -\tau^{-1} \log Z(\tau)</math>与自由能相关联。

算子 <math>K^{(0)}(\tau)</math>可用于构建网络的“本征尺度扫描仪”。该“扫描仪”具备平衡态统计物理中熵敏感性或热容的全部数学特性，其显著极大值（在无限尺寸极限下发散）能够表明网络结构组织中的一类相变。具体而言， <math>K^{(0)}(\tau)</math>的特征值 <math>\{e^{-\lambda_i^{(0)} \tau}\}_{i=1}^{N_0}</math>可用来定义实时的概率密度函数 <math>p(\lambda; \tau) = \sum_{i=1}^{N_0} \delta(\lambda - \lambda_i^{(0)}) e^{-\lambda_i^{(0)} \tau} / Z(\tau)</math>，其中配分函数 <math>Z(\tau) = \sum_{i=1}^{N_0} e^{-\lambda_i^{(0)} \tau}</math>， <math>\delta(\lambda)</math>为狄拉克δ函数。该测度对应的香农熵为 <math>S(\tau) = -\sum_{i=1}^{N_0} p(\lambda_i^{(0)}; \tau) \log [p(\lambda_i^{(0)}; t)]</math>。由于无向网络的 <math>L^{(0)}</math>为厄米且半正定， <math>S(\tau)</math>可形式化视为冯·诺依曼熵 <math>S[\rho(\tau)] = -\operatorname{Tr} [\rho(\tau) \log \rho(\tau)]</math>，与量子正则密度算子 <math>\rho(\tau) = K^{(0)}(\tau) / \mathrm{Tr} [K^{(0)}(\tau)]</math>相关联（参考文献<ref name="Domenico_complex_2016">{{cite journal|author1=Domenico, M.|author2=Biamonte, J.|title=Spectral entropies as information-theoretic tools for complex network comparison|journal=Phys. Rev. X|year=2016|volume=6|url=}}</ref>,<ref name="Ghavasieh_statistical_2020">{{cite journal|author1=Ghavasieh, A.|author2=Nicolini, C.|author3=Domenico, M.|title=Statistical physics of complex information dynamics|journal=Phys. Rev. E|year=2020|volume=102|url=}}</ref>,<ref name="Villegas_Laplacian_2022">{{cite journal|author1=Villegas, P.|author2=Gabrielli, A.|author3=Santucci, F.|author4=Caldarelli, G.|author5=Gili, T.|title=Laplacian paths in complex networks: information core emerges from entropic transitions|journal=Phys. Rev. Res.|year=2022|volume=4|url=}}</ref>），此处 <math>L^{(0)}</math>扮演哈密顿量角色， <math>\tau</math>则对应逆温度<ref name="Binney_theory_1992">{{cite book|author1=Binney, J. J.|author2=Dowrick, N. J.|author3=Fisher, A. J.|author4=Newman, M. E.|title=The Theory of Critical Phenomena: An Introduction to the Renormalization Group|publisher=Oxford Univ. Press|year=1992|url=}}</ref><ref name="Pathria_statistical_2011">{{cite book|author1=Pathria, R. K.|author2=Beale, P. D.|title=Statistical Mechanics|publisher=Elsevier/Academic|year=2011|url=}}</ref>。等价地，配分函数 <math>Z(\tau) = \operatorname{Tr} [K^{(0)}(\tau)]</math>通过 <math>F(\tau) = -\tau^{-1} \log Z(\tau)</math>与自由能相关联。

该形式类比的直接推论是下述量

该形式类比的直接推论是下述量