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第327行： − + + + − 不论<math>\mu</math>取任意值，最多有一个稳定的周期。 如果存在一个稳定的周期，那么它是全局稳定的，吸引了几乎所有的点。<ref>{{cite book |last=Collet |first=Pierre |first2=Jean-Pierre |last2=Eckmann |title=Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems |url=https://archive.org/details/iteratedmapsonin0000coll |url-access=registration |location= |publisher=Birkhauser |year=1980 |isbn=978-3-7643-3026-2 }}</ref>一些具有周期稳定循环的<math>\mu</math>在某些时候会有无穷多个不同周期的不稳定循环。+
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对于<math>\mu=4</math>的Logistic映射，此时对应<math>\mu= 2</math>的[[帐篷映射]](Tent map)。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu=4</math>的Logistic映射具有2个不动点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\cdot\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>。例如：<math>2\cdot\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。
对于<math>\mu=4</math>的Logistic映射，（最小）长度为k = 1，2，3，…的周期数量构成了一个整数序列（[https://en.wikipedia.org/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences OEIS]中的[https://oeis.org/A001037 A001037]）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161……。这个序列告诉我们，<math>\mu=4</math>的Logistic映射具有2个不动点（周期为1的循环），长度为2时的周期个数只有1个，长度为3时的周期个数为2，依此类推。更一般的，对于素数k作为长度，则我们可以得到周期个数为：<math>2\cdot\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>。例如：<math>2\cdot\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的周期个数。由于在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。
不论<math>\mu</math>取何值，Logistic映射最多有一个稳定的周期。我们知道，如果一个迭代映射存在一个稳定的周期，那么该映射就是全局稳定的，吸引了几乎所有的点。<ref>{{cite book |last=Collet |first=Pierre |first2=Jean-Pierre |last2=Eckmann |title=Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems |url=https://archive.org/details/iteratedmapsonin0000coll |url-access=registration |location= |publisher=Birkhauser |year=1980 |isbn=978-3-7643-3026-2 }}</ref>因此，一些具有周期稳定循环的<math>\mu</math>在某些时候会有无穷多个不同周期的不稳定循环。
==混沌与Logistic映射==
==混沌与Logistic映射==
[[File:Iterated_logistic_functions.svg.png|thumb|400px|图9 Logistic映射<math>f</math> (blue)及其迭代版本<math>f^2、f^3、f^4</math>和<math>f^5</math>, <math>\mu</math> = 3.5。例如，对于横轴上的任意初始值，<math>f^4</math>给出后面迭代4次的值|right]]
[[File:Iterated_logistic_functions.svg.png|thumb|400px|图9 Logistic映射<math>f</math> (blue)及其迭代版本<math>f^2、f^3、f^4</math>和<math>f^5</math>, <math>\mu</math> = 3.5。例如，对于横轴上的任意初始值，<math>f^4</math>给出后面迭代4次的值|right]]