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→费根鲍姆常数
就可以相应地求出参数的范围，即<math>\mu_{p},\mu_{p+1}</math>。
就可以相应地求出参数的范围，即<math>\mu_{p},\mu_{p+1}</math>。
==混沌与Logistic映射==
[[File:Iterated_logistic_functions.svg.png|thumb|400px|图9 Logistic映射<math>f</math> (blue)及其迭代版本<math>f^2、f^3、f^4</math>和<math>f^5</math>, <math>\mu</math> = 3.5。例如，对于横轴上的任意初始值，<math>f^4</math>给出后面迭代4次的值|right]]
Logistic映射<math> f</math> (blue)在<math>\mu</math>=3.5的条件下进行迭代，得到<math> f^2</math>、<math> f^3</math> 、<math> f^4</math>和 <math> f^5</math>。 例如，对于水平轴上的任何初始值，<math> f^4</math>为四次迭代之后得到的值。和其他混沌系统比较，Logistic映射的相对简单性使它成为考虑混沌概念的一个广泛使用的切入点。简单来说，混沌就是对初始条件的高度灵敏度。<math>\mu</math>=3.5是在3.57及4之间的大部分数值都可以使Logistic映射出现该特性。<ref name="May, Robert M 1976" /> 由于映射本身对定义域的拉伸及折叠，使得其对初始条件有高度灵敏度,故表现出来了混沌特性。Logistic映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。<ref name="Gleick">{{cite book |last=Gleick |first=James |title=Chaos: Making a New Science |year=1987 |publisher=Penguin Books |location=London |isbn=978-0-14-009250-9 }}</ref>
[[File:Logistic_map_scatterplots_large.png|400px|thumb|图10：二维和三维的庞加莱图显示了Logistic映射的拉伸和折叠结构|right]]
图10中，右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。左边 图(a) 显示了Logistic映射在<math>\mu</math>=4条件下的二维庞加莱图，并清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图可以看出一些Logistic映射的特性。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。
此外，以便研究Logistic映射的更深层结构。 图(b)演示了在最初点的附近是如何开始分叉的，特别是在与图中更陡的部分相对应的 <math>x_t</math> 区域。
拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散（参照李亚普诺夫指数），可以用有混沌特性时的Logistic映射的复杂性及不可预测性加以说明。事实上，数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系：初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加，导致结果出现很大的误差。因此当对于初始状态的有微小的误差时．对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。这种不可预测性和明显的随机性使得在早期的计算机中利用Logistic方程生成伪随机数。<ref name="Gleick" />
由于映射的函数值收敛于某一特定值，其维度小于或等于1。依数值分析的结果，在<math>\mu</math>=3.5699456...时（刚开始混沌特性时），其关联维度为0.500 ± 0.005（Grassberger,1983）、豪斯多夫维数大约是0.538(Grassberger 1981)，而分形维数为0.5170976...（Grassberger,1983），还可得知关联维度进一步精确在0.4926和0.5024之间。
有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子，则存在一概率量测描述系统长期在吸引子各部分所花时间的比例。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，初始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在区间(0,1)中，其概率量测对应参数<math> a</math>=0.5,<math>b</math>=0.5的Β分布<ref>{{cite journal |last=Jakobson |first=M. |title=Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=81 |issue=1 |year=1981 |pages=39–88 |doi=10.1007/BF01941800 |bibcode=1981CMaPh..81...39J }}</ref>，其不变测度为：
:<math> {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}</math>。
不可预期性和随机并不一样，不过在一些情形下这二者很类似。 因此，幸运的是，即使我们对Logistic映射(或其他混沌系统)的初始状态知之甚少，我们仍然可以说一些关于任意未来状态分布的问题，并参考一些信息来判断系统的状态从而做出决定。
==费根鲍姆常数==
==费根鲍姆常数==