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→应用
* [[超导量子计算]]在[[量子比特]]中使用约瑟夫森结作为非线性电感元件，例如[[transmon]]、[[flux qubit|磁通量子比特]]等方案，其中相位与电荷为[[共轭变量]]。<ref>{{cite journal |last1=Bouchiat |first1=V. |last2=Vion |first2=D. |last3=Joyez |first3=P. |last4=Esteve |first4=D. |last5=Devoret |first5=M. H. |year=1998 |title=Quantum coherence with a single Cooper pair |journal=Physica Scripta |volume=T76 |page=165 |bibcode=1998PhST...76..165B |doi=10.1238/Physica.Topical.076a00165 |s2cid=250887469 |doi-access=}}</ref>
* [[超导量子计算]]在[[量子比特]]中使用约瑟夫森结作为非线性电感元件，例如[[transmon]]、[[flux qubit|磁通量子比特]]等方案，其中相位与电荷为[[共轭变量]]。<ref>{{cite journal |last1=Bouchiat |first1=V. |last2=Vion |first2=D. |last3=Joyez |first3=P. |last4=Esteve |first4=D. |last5=Devoret |first5=M. H. |year=1998 |title=Quantum coherence with a single Cooper pair |journal=Physica Scripta |volume=T76 |page=165 |bibcode=1998PhST...76..165B |doi=10.1238/Physica.Topical.076a00165 |s2cid=250887469 |doi-access=}}</ref>
* [[Superconducting tunnel junction|超导隧穿结]]探测器用于[[Superconducting camera|超导相机]]
* [[Superconducting tunnel junction|超导隧穿结]]探测器用于[[Superconducting camera|超导相机]]
== 约瑟夫森方程 ==
[[File:Single josephson junction.svg|thumb|单个约瑟夫森结的示意图。A 与 B 表示超导体，C 为它们之间的弱连接。]]
约瑟夫森效应可用[[量子力学]]来计算。右图给出了单个约瑟夫森结的示意图。设超导体 A 的[[金兹堡–朗道理论]]（Ginzburg–Landau theory）序参量为 <math>\psi_A=\sqrt{n_A}e^{i\phi_A}</math>，超导体 B 的为 <math>\psi_B=\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}</math>，它们可被解释为两个超导体中[[库珀对]]的[[波函数]]。若结两端的电势差为 <math>V</math>，则两超导体之间的能量差为 <math>2eV</math>，因为每个库珀对带有两个电子的电荷。因此，这个[[双能级量子系统]]的[[薛定谔方程]]为：<ref>{{Cite web |url=https://feynmanlectures.caltech.edu/III_21.html |title=费曼物理学讲义 卷III 第21章：经典背景下的薛定谔方程：关于超导的研讨会，第21-9节：约瑟夫森结 |website=feynmanlectures.caltech.edu |access-date=2020-01-03}}</ref>
<math display="block">i\hbar\frac{\partial}{\partial t}
\begin{pmatrix}
\sqrt{n_A}e^{i\phi_A} \\
\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
eV & K \\
K & -eV
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sqrt{n_A}e^{i\phi_A} \\
\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}
\end{pmatrix},</math>
其中常数 <math>K</math> 是该结的特征量。为求解上述方程，先计算超导体 A 中序参量的时间导数：
<math display="block">\frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_A}e^{i\phi_A})=\dot \sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+ \sqrt{n_A} (i \dot \phi_A e^{i\phi_A})=(\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A} ,</math>
因此由薛定谔方程得到：
<math display="block">(\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A}
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}).</math>
跨结的金兹堡–朗道序参量的相位差称为'''约瑟夫森相位'''：
<math display="block">\varphi=\phi_B-\phi_A.</math> 因而薛定谔方程可改写为：
<math display="block">\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
=\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}),</math>
其[[复共轭]]方程为：
<math display="block">\dot \sqrt{n_A}- i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
=\frac{1}{-i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}).</math>
将两式相加以消去 <math>\dot \phi_A</math>：
<math display="block">2\dot \sqrt{n_A}=\frac{1}{i\hbar}(K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}-K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi})=\frac{K\sqrt{n_B}}{\hbar} \cdot 2\sin \varphi.</math>
由于 <math>\dot \sqrt{n_A}=\frac{\dot n_A}{2\sqrt{n_A}}</math>，得到：
<math display="block">\dot n_A=\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi.</math>
再将两式相减以消去 <math>\dot \sqrt{n_A}</math>：
<math display="block">2i \sqrt{n_A} \dot \phi_A
=\frac{1}{i\hbar}(2eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}),</math>
从而有：
<math display="block">\dot \phi_A
=-\frac{1}{\hbar}(eV+K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}}\cos \varphi).</math>
类似地，对超导体 B 可得：
<math display="block">\dot n_B=-\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi , \, \dot \phi_B
=\frac{1}{\hbar}(eV-K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}}\cos \varphi). </math>
注意到约瑟夫森相位的演化为 <math>\dot \varphi=\dot \phi_B-\dot \phi_A</math>，而[[charge carrier density|载流子密度]]的时间导数 <math>\dot n_A</math> 与电流 <math>I</math> 成正比，当 <math>n_A \approx n_B</math> 时，上述解给出'''约瑟夫森方程'''：<ref name="barone">{{Cite book |title=Physics and Applications of the Josephson Effect |last1=Barone |first1=A. |last2=Paterno |first2=G. |publisher=[[John Wiley & Sons]] |year=1982 |isbn=978-0-471-01469-0 |location=New York}}</ref>
{{equation|1=I(t) = I_c \sin (\varphi (t)) |2=1}}
{{equation|1=\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \frac{2 e V(t)}{\hbar} |2=2}}
其中 <math>V(t)</math> 与 <math>I(t)</math> 分别是约瑟夫森结两端的电压与通过结的电流，<math>I_c</math> 为该结的参数，称为'''临界电流'''。式（1）称为'''第一约瑟夫森关系'''或'''弱连接电流—相位关系'''；式（2）称为'''第二约瑟夫森关系'''或'''超导相位演化方程'''。约瑟夫森结的临界电流取决于超导体的性质，也会受温度、外加磁场等环境因素影响。
[[约瑟夫森常数]]定义为：
<math display="block">K_J=\frac{2 e}{h}\,, </math>
其倒数为[[磁通量子]]：
<math display="block">\Phi_0=\frac{h}{2 e}=2 \pi \frac{\hbar}{2 e}\,. </math>
超导相位演化方程可改写为：
<math display="block">\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 2 \pi [K_JV(t)] = \frac{2 \pi}{\Phi_0}V(t) \,. </math>
若定义：
<math display="block">\Phi=\Phi_0\frac{\varphi}{2 \pi}\,, </math>
则结两端的电压为：
<math display="block">V=\frac{\Phi_0}{2 \pi}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{d\Phi}{dt}\,, </math>
这与[[法拉第电磁感应定律]]非常相似。但需注意，此电压并非源自磁能，因为在超导体内[[Meissner effect|不存在磁场]]；相反，它来自载流子（即库珀对）的动能。该现象也称为[[kinetic inductance|动能电感]]。