约瑟夫森效应

在物理学中，约瑟夫森效应 指的是当两个 超导体 相互接近、其间存在某种势垒或限制时出现的一种现象。该效应以英国物理学家 布赖恩·约瑟夫森 的名字命名；他在1962年预测了跨越弱连接处电流与电压之间的数学关系。 它是一个 宏观量子现象 的例子，即量子力学效应可在普通（而非原子）尺度上被观测到。约瑟夫森效应具有许多实际应用，因为它在不同物理量（如电压与频率）之间呈现精确关系，从而促进了高精度测量。

约瑟夫森效应会产生一种称为 超电流 的电流，它在不施加任何电压的情况下，可跨越一种称为 约瑟夫森结（JJ）的器件持续流动。显然，它不可能在一段不再回到起点的金属中永远向前推动电流，因为这会建立起抵抗电流的电压。|date=December 2024}} 这种器件由两个或更多超导体通过一个弱连接耦合而成。该弱连接可以是一层很薄的绝缘势垒（称为 超导体—绝缘体—超导体结，或 S–I–S）、一小段非超导金属（S–N–S），或在接触点削弱超导性的物理收缩（S–c–S）。

约瑟夫森结在 量子力学电路 中具有重要应用，例如 SQUID、超导量子比特 和 RSFQ数字电子学。一伏特的NIST标准是通过将 20,208 个约瑟夫森结串联成阵列 实现的。

历史

蒙德实验室大楼

在1962年之前，直流约瑟夫森效应已在实验中被观测到， 但当时被归因于“超短路”或绝缘势垒的破损，导致超导体之间电子的直接传导。

1962年，布赖恩·约瑟夫森对超导隧穿产生了兴趣。当时他23岁，是剑桥大学蒙德实验室中Brian Pippard门下的二年级研究生。那一年，约瑟夫森选修了Philip W. Anderson开设的多体理论课程，安德森是来自贝尔实验室、在1961—1962学年休假的雇员。该课程向约瑟夫森介绍了超导体中的对称性破缺思想，他“为对称性破缺的概念所着迷，并思考是否有办法在实验上观测到它”。约瑟夫森研究了Ivar Giaever和Hans Meissner的实验，以及Robert Parmenter的理论工作。Pippard起初认为隧穿效应可能存在，但会小到难以察觉；然而约瑟夫森并不同意，尤其是在安德森向他展示了由Marvin L. Cohen、Leopoldo Máximo Falicov和Phillips撰写、关于超导体—势垒—正常金属体系的“Superconductive Tunneling”预印本论文之后。模板:R

起初，约瑟夫森和同事们对他计算的正确性并不确定。安德森后来回忆说：

我们所有人———约瑟夫森、Pippard和我，以及其他一些也常在蒙德实验室茶歇时参与接下来几周讨论的人——都对“电流依赖相位这一事实的意义”感到非常困惑。

经过进一步审查，他们得出结论认为约瑟夫森的结果是正确的。随后，约瑟夫森于1962年6月向《Physics Letters》投稿“Possible new effects in superconductive tunnelling”。由于对结果心存疑虑，他们选择了较新的《Physics Letters》杂志而非更为成熟的《Physical Review Letters》。约翰·巴丁当时已是诺贝尔奖得主，他在1962年最初公开对约瑟夫森的理论持怀疑态度，但在进一步的实验与理论澄清后接受了该理论。另见：约瑟夫森效应之争。

1963年1月，安德森与其贝尔实验室的同事John Rowell向《Physical Review Letters》提交了第一篇宣称在实验中观测到了约瑟夫森效应的论文——“Probable Observation of the Josephson Superconducting Tunneling Effect”。 这些作者随后获得了专利， 但从未被执行，也从未受到质疑。

在约瑟夫森的预言之前，人们只知道单个（即未成对的）电子可以通过量子隧穿穿越绝缘势垒。约瑟夫森是第一个预言超导库珀对会发生隧穿的人。因为这项工作，约瑟夫森于1973年获得了诺贝尔物理学奖。 约翰·巴丁是提名者之一。

应用

约瑟夫森结的电气符号

约瑟夫森结的类型包括φ 约瑟夫森结（其中π 约瑟夫森结是一个特殊例子）、长约瑟夫森结以及超导隧穿结。其他用途包括：

• “Dayem 桥”是一种薄膜约瑟夫森结，其中弱连接由一根长度为几微米或更短的超导导线构成。
• 约瑟夫森结数量可作为衡量超导电子电路复杂度的代理变量
• SQUID（超导量子干涉器）是通过约瑟夫森效应工作的高灵敏度磁强计
• 超流氦量子干涉器（SHeQUID）是直流 SQUID 的超流体氦类比物
• 在精密计量学中，约瑟夫森效应提供了在频率与电压之间可复现实验的换算。约瑟夫森电压标准利用铯原子标准对频率的定义来给出伏特的标准表达
• 单电子晶体管常以超导材料制成，称为“超导单电子晶体管”。
• 基础电荷最精确的测量可通过约瑟夫森常数和与量子霍尔效应相关的冯·克里青常数来实现
• RSFQ数字电子学基于并联阻尼的约瑟夫森结。结的开关会发射一个磁通量子 [math]\displaystyle{ \scriptstyle\frac{1}{2 e}h }[/math]。其可以无分别表示二进制 1 和 0。
• 超导量子计算在量子比特中使用约瑟夫森结作为非线性电感元件，例如transmon、磁通量子比特等方案，其中相位与电荷为共轭变量。
• 超导隧穿结探测器用于超导相机

约瑟夫森方程

文件:Single josephson junction.svg

单个约瑟夫森结的示意图。A 与 B 表示超导体，C 为它们之间的弱连接。

约瑟夫森效应可用量子力学来计算。右图给出了单个约瑟夫森结的示意图。设超导体 A 的金兹堡–朗道理论（Ginzburg–Landau theory）序参量为 [math]\displaystyle{ \psi_A=\sqrt{n_A}e^{i\phi_A} }[/math]，超导体 B 的为 [math]\displaystyle{ \psi_B=\sqrt{n_B}e^{i\phi_B} }[/math]，它们可被解释为两个超导体中库珀对的波函数。若结两端的电势差为 [math]\displaystyle{ V }[/math]，则两超导体之间的能量差为 [math]\displaystyle{ 2eV }[/math]，因为每个库珀对带有两个电子的电荷。因此，这个双能级量子系统的薛定谔方程为：

[math]\displaystyle{ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A}e^{i\phi_A} \\ \sqrt{n_B}e^{i\phi_B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} eV & K \\ K & -eV \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A}e^{i\phi_A} \\ \sqrt{n_B}e^{i\phi_B} \end{pmatrix}, }[/math]

其中常数 [math]\displaystyle{ K }[/math] 是该结的特征量。为求解上述方程，先计算超导体 A 中序参量的时间导数：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_A}e^{i\phi_A})=\dot \sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+\sqrt{n_A} (i \dot \phi_A e^{i\phi_A})=(\dot\sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A} , }[/math]

因此由薛定谔方程得到：

[math]\displaystyle{ (\dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A} =\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}). }[/math]

跨结的金兹堡–朗道序参量的相位差称为约瑟夫森相位：

[math]\displaystyle{ \varphi=\phi_B-\phi_A. }[/math] 因而薛定谔方程可改写为：

[math]\displaystyle{ \dot \sqrt{n_A}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A =\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}), }[/math]

其复共轭方程为：

[math]\displaystyle{ \dot \sqrt{n_A}- i \sqrt{n_A} \dot \phi_A =\frac{1}{-i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}). }[/math]

将两式相加以消去 [math]\displaystyle{ \dot \phi_A }[/math]：

[math]\displaystyle{ 2\dot \sqrt{n_A}=\frac{1}{i\hbar}(K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}-K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi})=\frac{K\sqrt{n_B}}{\hbar} \cdot 2\sin \varphi. }[/math]

由于 [math]\displaystyle{ \dot \sqrt{n_A}=\frac{\dot n_A}{2\sqrt{n_A}} }[/math]，得到：

[math]\displaystyle{ \dot n_A=\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi. }[/math]

再将两式相减以消去 [math]\displaystyle{ \dot \sqrt{n_A} }[/math]：

[math]\displaystyle{ 2i \sqrt{n_A} \dot \phi_A =\frac{1}{i\hbar}(2eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}), }[/math]

从而有：

[math]\displaystyle{ \dot \phi_A =-\frac{1}{\hbar}(eV+K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}}\cos \varphi). }[/math]

类似地，对超导体 B 可得：

[math]\displaystyle{ \dot n_B=-\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi , \, \dot \phi_B =\frac{1}{\hbar}(eV-K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}}\cos \varphi). }[/math]

注意到约瑟夫森相位的演化为 [math]\displaystyle{ \dot \varphi=\dot \phi_B-\dot \phi_A }[/math]，而载流子密度的时间导数 [math]\displaystyle{ \dot n_A }[/math] 与电流 [math]\displaystyle{ I }[/math] 成正比，当 [math]\displaystyle{ n_A \approx n_B }[/math] 时，上述解给出约瑟夫森方程：

其中 [math]\displaystyle{ V(t) }[/math] 与 [math]\displaystyle{ I(t) }[/math] 分别是约瑟夫森结两端的电压与通过结的电流，[math]\displaystyle{ I_c }[/math] 为该结的参数，称为临界电流。式（1）称为第一约瑟夫森关系或弱连接电流—相位关系；式（2）称为第二约瑟夫森关系或超导相位演化方程。约瑟夫森结的临界电流取决于超导体的性质，也会受温度、外加磁场等环境因素影响。

约瑟夫森常数定义为：

[math]\displaystyle{ K_J=\frac{2 e}{h}\, }[/math]

其倒数为磁通量子：

[math]\displaystyle{ \Phi_0=\frac{h}{2 e}=2 \pi \frac{\hbar}{2 e}\,. }[/math]

超导相位演化方程可改写为：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \varphi}{\partial t} = 2 \pi [K_JV(t)] = \frac{2 \pi}{\Phi_0}V(t) \,. }[/math]

若定义：

[math]\displaystyle{ \Phi=\Phi_0\frac{\varphi}{2 \pi}\,, }[/math]

则结两端的电压为：

[math]\displaystyle{ V=\frac{\Phi_0}{2 \pi}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{d\Phi}{dt}\,, }[/math]

这与法拉第电磁感应定律非常相似。但需注意，此电压并非源自磁能，因为在超导体内不存在磁场；相反，它来自载流子（即库珀对）的动能。该现象也称为动能电感。

三个主要效应

超导隧穿结（常见的约瑟夫森结）典型的 I–V 特性。纵轴刻度为 50 μA，横轴刻度为 1 mV。[math]\displaystyle{ V = 0 }[/math] 处的条带表示直流约瑟夫森效应，而在较大 [math]\displaystyle{ \left| V \right| }[/math] 下出现的电流源于超导体带隙的有限值，因而不由上述方程再现。

根据约瑟夫森方程，约瑟夫森预言了三个直接得到的主要效应：

直流约瑟夫森效应

由于 量子隧穿，在没有任何外部电磁场的情况下，直流电流可跨越绝缘层。该直流约瑟夫森电流与约瑟夫森相位的正弦成正比（绝缘层两侧的相位差，且随时间保持不变），其取值范围在 [math]\displaystyle{ -I_c }[/math] 到 [math]\displaystyle{ I_c }[/math] 之间。

交流约瑟夫森效应

当结两端加上固定电压 [math]\displaystyle{ V_{DC} }[/math] 时，相位将随时间线性变化，电流成为幅值为 [math]\displaystyle{ I_c }[/math]、频率为 [math]\displaystyle{ K_J V_{DC} }[/math] 的正弦交流（AC）电流。这意味着约瑟夫森结可充当理想的电压到频率转换器。

逆交流约瑟夫森效应

当约瑟夫森结受到单一 角频率 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 的微波辐照时，可在结上诱导量子化的直流电压， 此时约瑟夫森相位取形式 [math]\displaystyle{ \varphi (t) = \varphi_0 + n \omega t + a \sin(\omega t) }[/math]，结上的电压与电流为： [math]\displaystyle{ V(t) = \frac{\hbar}{2 e} \omega ( n + a \cos( \omega t) ), \text{ and } I(t) = I_c \sum_{m = -\infty}^\infty J_m (a) \sin (\varphi_0 + (n + m) \omega t), }[/math]

其直流分量为： [math]\displaystyle{ V_\text{DC} = n \frac{\hbar}{2 e} \omega, \text{ and } I_\text{DC} = I_c J_{-n} (a) \sin \varphi_0. }[/math]

这意味着约瑟夫森结可充当理想的频率到电压的转换器， 这是约瑟夫森电压标准的理论基础。

约瑟夫森电感

当电流与约瑟夫森相位随时间变化时，结两端的电压降也将相应变化；如下推导所示，约瑟夫森关系决定了这种行为可由一种称为约瑟夫森电感的动能电感来建模。

将约瑟夫森关系改写为：

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{\partial I}{\partial \varphi} &= I_c\cos\varphi,\\ \frac{\partial \varphi}{\partial t} &= \frac{2\pi}{\Phi_0}V. \end{align} }[/math]

现在，应用链式法则计算电流的时间导数：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial I}{\partial t} = \frac{\partial I}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=I_c\cos\varphi\cdot\frac{2\pi}{\Phi_0}V, }[/math]

将上述结果整理为电感的电流—电压特性形式：

[math]\displaystyle{ V = \frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\varphi} \frac{\partial I}{\partial t}=L(\varphi)\frac{\partial I}{\partial t}. }[/math]

这给出了动能电感关于约瑟夫森相位的表达式：

[math]\displaystyle{ L(\varphi) = \frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\varphi} = \frac{L_J}{\cos\varphi}. }[/math]

其中，[math]\displaystyle{ L_J=L(0)=\frac{\Phi_0}{2\pi I_c} }[/math] 是约瑟夫森结的特征参数，称为约瑟夫森电感。

需注意，尽管约瑟夫森结的动力学行为与电感相似，但并不伴随磁场。此行为源自载流子（电荷载流子）的动能，而非磁场能量。