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==== 其余信息原子计算 ====

==== 其余信息原子计算 ====

此处的计算是指基于给定冗余后其余信息原子的计算方法，涉及到莫比乌斯反演（基于所有经典信息论给的约束），参考原文和后续文章

此处的计算是指基于给定冗余后其余信息原子的计算方法，涉及到莫比乌斯反演（基于所有经典信息论给的约束），参考原文和后续文章

冗余格中每个节点关联的冗余信息包含但不限于其层级下所有节点提供的信息。因此，当沿着格结构向上遍历时，Imin可视为一种“累积信息函数”，本质上整合了由日益广泛的信息源集合所提供的信息。接下来我们将推导Imin的逆函数——部分信息函数（PI函数）。与量化累积信息的Imin不同，PI函数专门测量特定信息源集合所贡献的独特部分信息。这些局部信息将构成我们分解R对S提供的整体信息时的基本单元。对于源集合Q A(R)，PI函数（记作R）被隐式定义为min(S;α)=Xβ4αΠR(S;β).(6)从形式上讲，R对应于Imin的Mo...双逆[19,20]。根据这一关系式可以清楚地看出，R可以通过递归方式计算得出。ΠR(S;α)=Imin(S;α)−Xβ≺αΠR(S;β).(7)用语言来说，R（S；Q）量化了alpha提供的且不能被其下级格点提供的冗余信息。1首先明确每个部分信息项的含义。

冗余格中每个节点关联的冗余信息包含但不限于其层级下所有节点提供的信息。因此，当沿着格结构向上遍历时，Imin可视为一种“累积信息函数”，本质上整合了由日益广泛的信息源集合所提供的信息。接下来我们将推导Imin的逆函数——部分信息函数（PI函数）。与量化累积信息的Imin不同，PI函数专门测量特定信息源集合所贡献的独特部分信息。这些局部信息将构成我们分解R对S提供的整体信息时的基本单元。对于源集合Q A(R)，PI函数（记作R）被隐式定义为min(S;α)=Xβ4αΠR(S;β).(6)从形式上讲，R对应于Imin的莫比乌斯反演[19,20]。根据这一关系式可以清楚地看出，R可以通过递归方式计算得出。ΠR(S;α)=Imin(S;α)−Xβ≺αΠR(S;β).(7)即意味着R（S；Q）量化了alpha提供的且不能被其下级格点提供的冗余信息。

首先，根据公式(8)，我们得到 R（S；{1}{2}）= Imin（S；{1}{2}），根据Imin的定义，这对应于R1和R2的冗余量。R1的唯一 信 息 由 R（S；{1}）= I（S；R1）- Imin（S；{1}{2}）给出，即从R1中扣除冗余量后的总信息量，R2的情况同样如此。最后，R1和R2组合提供的附加信息由 R（S；{12}）给出，对应于它们的协同作用。当我们考虑四个变量的分解时（图3B)，PI图的整体结构就变得清晰了。首先要注意，三个变量的所有可能性在四个变量中依然存在。具体来说，R中的每个元素可以提供独特信息（标记为{1}、{2}和{3}的区域）、与其他变量冗余地共享信息（如{1}、{2}、{1}、{3}或{2}、{3})，或是与另一变量协同作用产生信息（如{12}、{13}、{23})。此外，所有三个变量（{1}、{2}、{3})可能共同提供冗余信息，或者通过三元协同作用（{123}）产生信息。更有趣的是那些代表冗余与协同组合的新类型术语。例如，标记为{1}、{2}、{3}的区域，表示这些信息既可以通过单独考虑任一变量获得，也可以通过综合考虑其他两个变量获得。再比如，标记为{12}、{13}、{32}的区域，则表示由三种可能的双向协同作用共同提供的冗余信息。总体而言，一组源的PI原子对应5图3。(A) 3个变量和(B) 4个变量的局部信息图。通过集合中所有来源的协同作用，对信息进行了冗余提供。这一点也阐明了我们之前的主张：唯一信息最好被视为一种退化的情况——它对应于一阶冗余与一阶协同作用的结合。总体而言，包含n个变量的PI图（参见附录E中的图S2）由以下要素构成：首先，对于每个元素Ri R，都存在一个对应I（S；Ri）的区域。其次，对于R中任意包含两个及以上元素的子集A，其对应的I(S；A）区域需满足：该区域包含所有A A中的I(S；A），但不与UA AI（S；A）的交集完全重合。I(S；A）与U

A AI（S；A）之间的差异值代表该子集的协同效应——即通过整合A中所有元素信息所获得的独特价值，这种价值无法通过任何子集单独获取。此外，图中的区域通常会相互交叠，这反映了冗余现象的所有可能情况。总体而言，PI图由第（n-1）个派定数[21]的PI原子构成，其数量与集合A(R)的基数相同（详见附录C）。如前所述，每个PI原子代表特定源集合的协同冗余度，对应着R的各个组成部分为S提供信息时所采用的不同方式。最后，考虑n个变量的冗余格与PI图之间的关系是有益的。图4.S {0；1；2}和R1；R2{0；1}的概率分布。黑色方块表示等概率结果，白色方块表示零概率结果。首先，我们注意到Imin类似于PI-图中的集合交集，这与冗余作为重叠信息的概念一致。具体来说，Imin（S；{A1，A2，...，Ak }）对应于区域∩i I（S；Ai）。通过分析Imin与集合交集之间的对应关系，我们可以建立如下关联 ： 对 于 Q， A(R)， 当 且 仅 当 在 PI 图 中∩AI（S；A）是∩BI（S；B）的子集时，Q在冗余格中比

首先，根据公式(8)，我们得到 R（S；{1}{2}）= Imin（S；{1}{2}），根据Imin的定义，这对应于R1和R2的冗余量。R1的唯一 信 息 由 R（S；{1}）= I（S；R1）- Imin（S；{1}{2}）给出，即从R1中扣除冗余量后的总信息量，R2的情况同样如此。最后，R1和R2组合提供的附加信息由 R（S；{12}）给出，对应于它们的协同作用。当我们考虑四个变量的分解时（图3B)，PI图的整体结构就变得清晰了。首先要注意，三个变量的所有可能性在四个变量中依然存在。具体来说，R中的每个元素可以提供独特信息（标记为{1}、{2}和{3}的区域）、与其他变量冗余地共享信息（如{1}、{2}、{1}、{3}或{2}、{3})，或是与另一变量协同作用产生信息（如{12}、{13}、{23})。此外，所有三个变量（{1}、{2}、{3})可能共同提供冗余信息，或者通过三元协同作用（{123}）产生信息。更有趣的是那些代表冗余与协同组合的新类型术语。例如，标记为{1}、{2}、{3}的区域，表示这些信息既可以通过单独考虑任一变量获得，也可以通过综合考虑其他两个变量获得。再比如，标记为{12}、{13}、{32}的区域，则表示由三种可能的双向协同作用共同提供的冗余信息。总体而言，一组源的PI原子对应5图3。(A) 3个变量和(B) 4个变量的局部信息图。通过集合中所有来源的协同作用，对信息进行了冗余提供。这一点也阐明了我们之前的主张：唯一信息最好被视为一种退化的情况——它对应于一阶冗余与一阶协同作用的结合。总体而言，包含n个变量的PI图（参见附录E中的图S2）由以下要素构成：首先，对于每个元素Ri R，都存在一个对应I（S；Ri）的区域。其次，对于R中任意包含两个及以上元素的子集A，其对应的I(S；A）区域需满足：该区域包含所有A A中的I(S；A），但不与UA AI（S；A）的交集完全重合。I(S；A）与UA AI（S；A）之间的差异值代表该子集的协同效应——即通过整合A中所有元素信息所获得的独特价值，这种价值无法通过任何子集单独获取。此外，图中的区域通常会相互交叠，这反映了冗余现象的所有可能情况。总体而言，PI图由第（n-1）个派定数[21]的PI原子构成，其数量与集合A(R)的基数相同（详见附录C）。如前所述，每个PI原子代表特定源集合的协同冗余度，对应着R的各个组成部分为S提供信息时所采用的不同方式。最后，考虑n个变量的冗余格与PI图之间的关系是有益的。图4.S {0；1；2}和R1；R2{0；1}的概率分布。黑色方块表示等概率结果，白色方块表示零概率结果。首先，我们注意到Imin类似于PI-图中的集合交集，这与冗余作为重叠信息的概念一致。具体来说，Imin（S；{A1，A2，...，Ak }）对应于区域∩i I（S；Ai）。通过分析Imin与集合交集之间的对应关系，我们可以建立如下关联：对 于 Q，A(R)， 当且仅当在PI 图 中∩AI（S；A）是∩BI（S；B）的子集时，Q在冗余格中比

更低。因此，冗余格与PI图可视为同一结构的互补表示——PI图是通过按格序嵌入区域形成的冗余格的简化版本。

更低。因此，冗余格与PI图可视为同一结构的互补表示——PI图是通过按格序嵌入区域形成的冗余格的简化版本。