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→Lie算子
==Lie算子==
==Lie算子==
算子<math>\mathcal{L}</math>被称为Lie算子，因为它就是沿着向量场<math>\mathbf{f}(\mathbf{x})</math>对<math>g</math>的Lie导数，当动力学由<math>(1.1)</math>给出时。这可以通过对<math>g(\mathbf{x})</math>的时间导数应用链式法则得到：
<math> \frac{d}{dt}g(\mathbf{x}(t)) = \nabla g \cdot \dot{\mathbf{x}}(t) = \nabla g \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) </math>
与
<math> \frac{d}{dt}g(\mathbf{x}(t)) = \lim_{\tau \to 0} \frac{g(\mathbf{x}(t + \tau)) - g(\mathbf{x}(t))}{\tau} = \mathcal{L}(g(\mathbf{x}(t))) </math>
联立起来，可以得到：
<math> \mathcal{L}g = \nabla g \cdot \mathbf{f} </math>
Lie算子的伴随算子被称为Liouville算子，特别是在哈密顿动力系统中。而Koopman算子的伴随算子是Perron-Frobenius算子。在许多方面，动力系统的算子理论框架有两种对偶的观点，分别对应Koopman算子和Perron-Frobenius算子。对于<math>\mathcal{L}</math>的特征函数而言，对应的等价关系是如下的偏微分方程：
<math>
\nabla \varphi(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \lambda \varphi(\mathbf{x}) .
</math>
利用这个偏微分方程，可以通过求解Laurent级数（见2.5小节）或通过数据回归（见第5节）来近似特征函数。这一表述假设系统动力学既是连续的也是可微的。
=参考文献=
=参考文献=
<references/>
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