Koopman理论

Koopman理论是一种将非线性动力系统用线性算子来分析的方法。它提出，虽然原始系统可能是非线性的，但可以通过Koopman算子作用在观测函数空间，使得系统在这个更高维的空间中变得线性。这样，使用线性分析工具（如谱分析、特征分解）就能研究复杂的非线性动态行为，大大拓展了对非线性系统的理解和建模能力。该理论广泛应用于流体力学、混沌系统和数据驱动建模等领域。

历史溯源

Koopman算子理论的发展始于20世纪30年代，首要的贡献者是B. O. Koopman和冯诺伊曼。Koopman受到量子力学中算子方法的启发，试图用线性方法分析经典的非线性哈密顿（Hamilton）系统。他关心的是观测函数随动力系统演化过程的性质，而不是单独的相空间轨道。在1931年，Koopman在其论文中首次引入了算子的理念，表明通过线性算子可以描述非线性的哈密顿动力系统的演化，这一构想为后来的发展奠定了基础。他强调，可以将动力系统看作是在某种函数空间中的算子作用过程。

冯诺伊曼是当时希尔伯特空间和谱理论的奠基人，他对动力系统的统计与概率性质、特别是遍历性和连续谱问题尤为关注。他希望将动力系统与算子谱理论紧密结合，发展概率与动力系统的严格基础。与Koopman合作的1932年论文中，冯诺伊曼更进一步地分析了具有连续谱的动力系统，给出了动力系统在算子谱理论下一般性的统计行为和遍历结果，对“不可积系统”的性质进行了深刻刻画。两人共同发表的重要论文是早期动力系统Koopman谱理论的里程碑，将Koopman的线性化算子思想和冯诺伊曼的希尔伯特空间、谱理论、概率逻辑方法结合，系统分析了动力系统连续谱情况下的统计与遍历性质。

这一理论框架在后来的研究中得到了扩展，尤其是在流体动力学和混沌理论中被广泛应用。近年来，Koopman算子理论受到了越来越多的关注，特别是在数据驱动的动力学建模和控制领域。研究者们利用Koopman算子提取动态系统的特征，使得对复杂现象的预测和控制更加有效。

总之，从Koopman和冯诺伊曼在1931年和1932年的开创性工作到当今的数据驱动应用，Koopman算子理论已成为现代动力学研究不可或缺的重要工具。

Koopman模式分解

特征函数与特征值

一个对应于特征值[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]的Koopman特征函数[math]\displaystyle{ \varphi(\mathbf{x}) }[/math]满足：

[math]\displaystyle{ \varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \mathcal{K} \varphi(\mathbf{x}_k) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k). }[/math]

(1)

在连续时间下，Lie算子的特征函数[math]\displaystyle{ \varphi(\mathbf{x}) }[/math]满足：

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \varphi(\mathbf{x}) = \mathcal{L}\varphi(\mathbf{x}) = \mu \varphi(\mathbf{x}), }[/math]

其中[math]\displaystyle{ \mu }[/math]是连续时间下的特征值。一般来说，即使状态空间[math]\displaystyle{ \mathcal{X} }[/math]和动力学[math]\displaystyle{ \mathbf{F}(\mathbf{x}) }[/math]是实值的，特征值和特征向量通常分别是复值的标量和函数。

如果我们考虑本身已经是线性的动力学，可以进一步说明线性时间离散动力学[math]\displaystyle{ \mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n }[/math]的特征向量与[math]\displaystyle{ g_{n+1} = \mathcal{K}g_n }[/math]的特征函数之间的联系。给定矩阵[math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math]的一个左特征向量[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top }[/math]，我们可以构造一个对应的Koopman特征函数如下

[math]\displaystyle{ \varphi(\mathbf{x}) := \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} }[/math]

因为

[math]\displaystyle{ \mathcal{K}\varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} = \lambda \varphi(\mathbf{x}). }[/math]

换句话说，[math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math]的右特征向量在状态空间[math]\displaystyle{ \mathcal{X} }[/math]中给出了随时间不变的方向。而左特征向量则对应于Koopman特征函数，在观测空间[math]\displaystyle{ \mathcal{G}(\mathcal{X}) }[/math]中也同样对应于随时间不变的方向。在一般系统中，一组Koopman特征函数可以用来生成更多的特征函数。在离散时间系统中，我们可以发现，两个特征函数[math]\displaystyle{ \varphi_1(\mathbf{x}) }[/math]和[math]\displaystyle{ \varphi_2(\mathbf{x}) }[/math]的乘积同样是一个特征函数，

[math]\displaystyle{ \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}). }[/math]

代数上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman特征函数的集合在逐点乘法下形成一个交换幺半群。这样一来，根据具体的动力系统，可能存在有限组生成元特征函数元素，可以用来构建所有其他特征函数。对应的Koopman特征值根据形成乘法格，或者，若是Lie特征值，则形成加法格。

观测函数可以由特征函数线性组合构成，即[math]\displaystyle{ g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K }[/math]，在Koopman算子作用下具有极为简单的演化关系：

[math]\displaystyle{ g(\mathbf{x}) = \sum_k v_k \varphi_k \implies \mathcal{K}^t g(\mathbf{x}) = \sum_k v_k \lambda_k^t \varphi_k. }[/math]

这意味着子空间 [math]\displaystyle{ \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K }[/math] 在Koopman算子 [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math] 的作用下是不变的。因此我们可以分析一般观测量分解到特征函数下的时间演化。这些理论为Koopman模式分解和动力学模式分解（DMD）方法奠定了基础。

一般的观测函数下如何得到特征函数？

注意，一般矩阵的特征值分解通常是唯一的，其特征向量是有限维的，每个本征空间是有限维的，且特征值个数有限。而Koopman算子是作用在无限维的函数空间上的，所以会有无限多个特征函数。只要有生成元，就可以无限地生成新的特征函数。而换一组生成元，特征函数的表现形式会很不一样。有几种方法可以用来数值近似计算Koopman特征函数。

傅立叶平均

假设一个观测量的演化[math]\displaystyle{ g(\mathbf{x}(t)) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})) }[/math]已知，则可以通过以下长期谐波或傅里叶平均来计算与特征值[math]\displaystyle{ e^{i\omega} }[/math]对应的特征函数：

[math]\displaystyle{ \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) := \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g\left(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})\right) e^{-i\omega t} \,dt. }[/math]

可以根据特征函数的定义1证明[math]\displaystyle{ \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) }[/math]是特征函数，[math]\displaystyle{ e^{i\omega} }[/math]是特征值。

数据驱动算法

动力学模式分解（DMD）

动力学模式分解是对Koopman模式分解的一种近似。这意味着，DMD的特征值将近似Koopman算子的特征值，DMD中的模式将近似Koopman算子的模式，DMD中的振幅将近似Koopman算子特征函数在初始条件下的取值。

与其他算子的关系

Lie算子

算子[math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math]被称为Lie算子，因为它就是沿着向量场[math]\displaystyle{ \mathbf{f}(\mathbf{x}) }[/math]对[math]\displaystyle{ g }[/math]的Lie导数，当动力学由[math]\displaystyle{ (1.1) }[/math]给出时。这可以通过对[math]\displaystyle{ g(\mathbf{x}) }[/math]的时间导数应用链式法则得到：

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}g(\mathbf{x}(t)) = \nabla g \cdot \dot{\mathbf{x}}(t) = \nabla g \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) }[/math] 与

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}g(\mathbf{x}(t)) = \lim_{\tau \to 0} \frac{g(\mathbf{x}(t + \tau)) - g(\mathbf{x}(t))}{\tau} = \mathcal{L}(g(\mathbf{x}(t))) }[/math] 联立起来，可以得到：

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}g = \nabla g \cdot \mathbf{f} }[/math]

Lie算子的伴随算子被称为Liouville算子，特别是在哈密顿动力系统中。而Koopman算子的伴随算子是Perron-Frobenius算子。在许多方面，动力系统的算子理论框架有两种对偶的观点，分别对应Koopman算子和Perron-Frobenius算子。对于[math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math]的特征函数而言，对应的等价关系是如下的偏微分方程：

[math]\displaystyle{ \nabla \varphi(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \lambda \varphi(\mathbf{x}) . }[/math]

利用这个偏微分方程，可以通过求解Laurent级数或通过数据回归来近似特征函数。这一表述假设系统动力学既是连续的也是可微的。