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→冗余晶格
\end{equation}
\end{equation}
将此偏序应用于<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，便得到冗余格（redundancy lattice），其中较高元素提供的冗余信息不少于较低元素有了结构和偏序关系，我们需要对函数进行约束。此时我们说一下自由度的问题（只多了一个自由度），所以只需要一个新定义，这篇文章选了最底下的格子——冗余信息。
将此偏序应用于<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，便得到冗余格（redundancy lattice），其中较高元素提供的冗余信息不少于较低元素有了结构和偏序关系，我们需要对函数进行约束。此时我们说一下自由度的问题（只多了一个自由度），所以只需要一个新定义，这篇文章选了最底下的格子——冗余信息。
\textbf{定义 1}（PID 冗余格）。对于源变量集合 \( S \)，其反链集合为：
\[
\mathcal{A}(S) = \left\{ \alpha \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(S)) \setminus \{\emptyset\} : \forall A_i, A_j \in \alpha, A_i \not\subseteq A_j \right\},
\]
其中 \( \mathcal{P}(S) \setminus \{\emptyset\} \) 表示 \( S \) 的所有非空子集构成的集合，且对于任意 \( \alpha, \beta \in \mathcal{A}(S) \)，我们说 \( \beta \preceq \alpha \)，如果对于每一个 \( A \in \alpha \)，存在一个 \( B \in \beta \) 使得 \( B \subseteq A \)。
为了便于阐述，我们使用仅包含对应源变量索引的括号表达式来表示 \( \mathcal{A}(S) \) 中的元素。例如，将 \( [[S_1, S_2]] \) 写作 \([12]\)，将 \( [[S_1][S_2]] \) 写作 \([1][2]\)，将 \( [[S_1]] \) 写作 \([1]\)。
基于定义 1，一个系统的部分信息分解（PID）可以被表示为一组函数，这些函数用于为系统中每一个源变量子集对应的格节点赋值，定义如下：
\textbf{定义 2}（部分信息分解框架）。设 \( S \) 为源变量的集合，\( T \) 为目标变量。PI-原子集合被定义为一族部分信息函数（PI-函数）\( \Pi_A : \mathcal{A}(A) \rightarrow \mathbb{R} \)，其中 \( A \subseteq S \)。为简洁起见，在上下文明确的地方我们省略 \( \Pi \) 的下标。
直观上，对于每一个 \( \alpha \in \mathcal{A}(A) \)，原子 \( \Pi_A(\alpha) \) 度量了由反链 \( \alpha \) 中每一个集合所提供、且不被任何 \( \beta \preceq \alpha \) 的子集所提供的信息量。为简洁起见，我们用 \( \Pi(\cdot) \) 表示 \( \Pi_{S_1, S_2}(\cdot) \)，例如：
\[
\Pi_{12}(\{[1]\}) = \Pi_{(S_1, S_2)}(\{S_1\}).
\]
注意，在 \( S = \{S_1, S_2\} \) 的情况下，定义 2 简化为：
\[
\text{冗余}(S_1, S_2 \rightarrow T) = \Pi_{12}(\{[1][2]\}),
\]
\[
\text{独有}(S_1 \rightarrow T | S_2) = \Pi_{12}(\{[1]\}),
\]
\[
\text{协同}(S_1, S_2 \rightarrow T) = \Pi_{12}(\{[12]\}),
\]
\[
\text{独有}(S_2 \rightarrow T | S_1) = \Pi_{12}(\{[2]\}).
\]
=== 信息原子计算 ===
=== 信息原子计算 ===