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第294行：
第294行： − + 第300行：
第300行： − + 第324行：
第324行： − 公式为：<math> Ã = U* X' V Σ⁻¹ </math>+ 第330行：
第330行： − + − <math>Λ</math> 是一个对角矩阵，其对角线元素就是特征值 <math>λᵢ</math>。这些特征值决定了每个模式的动态行为（增长/衰减/振荡的频率）。+ − <math>W</math>的列是对应的特征向量。+ + + − <math>Ã</math>的特征向量<math>W</math>是在降维空间里的。我们需要把它们映射回原始空间，得到真正的空间模式 <math>Φ</math>。+ 第343行：
第345行： + 第348行：
第351行： − +
→数据驱动算法
·把前<math>m</math>个时间点的数据组成矩阵<math> X： X = [x_1, x_2, ..., x_m] </math>
·把前<math>m</math>个时间点的数据组成矩阵<math> X： X = [x_1, x_2, ..., x_m] </math>
·把后<math>m</math>个时间点的数据组成矩阵<math> X'： X' = [x_2, x_3, ..., x_(m+1)] </math>
·把后<math>m</math>个时间点的数据组成矩阵<math> X'： X' = [x_2, x_3, ..., x_{m+1}] </math>
·直观理解：<math>X'</math>中的每一列都是<math>X</math>中对应列在下一个时间点的状态。
·直观理解：<math>X'</math>中的每一列都是<math>X</math>中对应列在下一个时间点的状态。
2.寻找一个近似线性算子A
2.寻找一个近似线性算子A
我们假设存在一个线性算子A，使得 <math>x_(k+1) ≈ A * x_k</math>。换句话说，A能够近似地描述系统一步的演化。
我们假设存在一个线性算子A，使得 <math>x_{k+1} ≈ A * x_k</math>。换句话说，A能够近似地描述系统一步的演化。
那么，整个矩阵关系可以写为： <math>X’ ≈ A X</math>
那么，整个矩阵关系可以写为： <math>X’ ≈ A X</math>
庞大的A矩阵可以被投影到降维后的空间（由 U 的列张成）上，得到一个简化的小矩阵 Ã。
庞大的A矩阵可以被投影到降维后的空间（由 U 的列张成）上，得到一个简化的小矩阵 Ã。
公式为: Ã = U* X' V Σ⁻¹
à 可以看作是 A 在主要模式上的一个“精华版”。
à 可以看作是 A 在主要模式上的一个“精华版”。
5.计算 Ã 的特征值和特征向量
5.计算 Ã 的特征值和特征向量
求解 Ã 的特征分解： <math>Ã W = W Λ</math>
求解 Ã 的特征分解： Ã W = W Λ
Λ 是一个对角矩阵，其对角线元素就是特征值 <math>λᵢ</math>。这些特征值决定了每个模式的动态行为（增长/衰减/振荡的频率）。
W的列是对应的特征向量。
6.重建 DMD 模式（Spatial Modes）
6.重建 DMD 模式（Spatial Modes）
Ã的特征向量W是在降维空间里的。我们需要把它们映射回原始空间，得到真正的空间模式 <math>Φ</math>。
公式为： <math>Φ = X' V Σ⁻¹ W </math>
公式为： <math>Φ = X' V Σ⁻¹ W </math>
7.预测与重构
7.预测与重构
任何一个时间点的状态都可以用这些 DMD 模式的线性组合来近似表示：
任何一个时间点的状态都可以用这些 DMD 模式的线性组合来近似表示：
<math>x_k ≈ Φ Λᵏ⁻¹ b </math>
<math>x_k ≈ Φ Λᵏ⁻¹ b </math>
b是初始振幅向量，可以通过初始条件 <math>x_1</math>求得： <math>b = Φ⁺ x_1（⁺ 表示伪逆）</math>。
b是初始振幅向量，可以通过初始条件 <math>x_1</math>求得： <math>b = Φ⁺ x_1（⁺ 表示伪逆）</math>。
<math>Λᵏ⁻¹</math> 中的特征值 <math>λᵢ</math>决定了第 i个模式随时间如何演化。<math>|λ|>1</math>模式增长，<math>|λ|<1</math>模式衰减，λ是复数则产生振荡。
<math>Λᵏ⁻¹</math> 中的特征值 <math>λᵢ</math>决定了第 i个模式随时间如何演化。<math>|λ|>1</math>模式增长，<math>|λ|<1</math>模式衰减，<math>λ</math>是复数则产生振荡。
==扩展DMD==
==扩展DMD==