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噪声项通过 Hessian 矩阵影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献；当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子；随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

噪声项通过 Hessian 矩阵影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献；当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子；随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

== 特性 ==

== 算子性质 ==

Koopman算子主要具有三种特性：线性性、半群性质、与Koopman特征函数的关系<ref name="brunton_2022" />。

Koopman算子主要具有三种特性：线性性、半群性质、与Koopman特征函数的关系<ref name="brunton_2022" />。

2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）；  

2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）；  

3. 特征函数关系：若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman模式分解）。  

3. 特征函数关系：若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman模式分解）。

=Koopman模式分解=

=Koopman模式分解=