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无编辑摘要
考虑一个连通图<math>G</math>，邻接矩阵为<math>A</math>，假设图上有<math>N</math>个节点，分别为<math>1,2,...,N</math>，我们定义从节点<math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>到节点<math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中<math>a_{ij}</math>表示邻接矩阵的第<math>i</math>行第<math>j</math>列元素，对应从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的边的权重。由于该网络是连通图，所以分母<math>\sum_{j}a_{ij}</math>会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即<math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为<math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，转移矩阵为<math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math>。
考虑一个连通图<math>G</math>，邻接矩阵为<math>A</math>，假设图上有<math>N</math>个节点，分别为<math>1,2,...,N</math>，我们定义从节点<math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>到节点<math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中<math>a_{ij}</math>表示邻接矩阵的第<math>i</math>行第<math>j</math>列元素，对应从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的边的权重。由于该网络是连通图，所以分母<math>\sum_{j}a_{ij}</math>会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即<math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为<math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，转移矩阵为<math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math>。
，假设图上有$$N$$个节点，分别为$$1,2,...,N$$，我们定义从节点<math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>到节点<math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中<math>a_{ij}</math>表示邻接矩阵的第<math>i</math>行第<math>j</math>列元素，对应从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的边的权重。由于该网络是连通图，所以分母<math>\sum_{j}a_{ij}</math>会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即<math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为<math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，转移矩阵为<math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math><ref>复杂网络的因果涌现.https://wiki.swarma.org/index.php/%E5%A4%8D%E6%9D%82%E7%BD%91%E7%BB%9C%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%B6%8C%E7%8E%B0</ref>。
，假设图上有$$N$$个节点，分别为$$1,2,...,N$$，我们定义从节点<math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>到节点<math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中<math>a_{ij}</math>表示邻接矩阵的第<math>i</math>行第<math>j</math>列元素，对应从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的边的权重。由于该网络是连通图，所以分母<math>\sum_{j}a_{ij}</math>会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即<math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为<math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，转移矩阵为<math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math><ref>复杂网络的因果涌现.https://wiki.swarma.org/index.php/</ref>。
===复杂网络的粗粒化方法===
===复杂网络的粗粒化方法===
====谱粗粒化====
====谱粗粒化====
复杂网络可以被建模为一个马尔科夫过程，它的动力学由邻接矩阵<math>A</math>构建的随机矩阵$$W$$（或称转移概率矩阵）所描述，定义为<math>W_{ij} = \frac{A_{ij}}{\sum_k A_{kj}}</math>表示从节点<math>j</math>转移到节点<math>i</math>的概率。为实现网络的降维与简化，研究一种基于谱理论的粗粒化方法。该方法的核心在于选取随机矩阵前<math>S</math>个最大非平凡特征向值<math>\lambda^2, \lambda^3, \ldots, \lambda^{S+1}</math>对应的左特征向量<math>\langle u^2 |, \langle u^3 |, \ldots, \langle u^{S+1} |</math>，将网络节点映射到该特征向量张成的特征空间。在此基础上，将每个特征向量的值域划分为<math>I</math>个区间，在所有<math>S</math>个特征向量均落入相同区间的节点合并为一个超级节点。从概率角度可以对此粗粒化过程可以解释为，将新超级节点的出边概率为原节点的出边概率的加权平均，其流入概率为原节点的流入概率相加，其他没有合并节点的转移概率保持不变。
复杂网络可以被建模为一个马尔科夫过程，它的动力学由邻接矩阵<math>A</math>构建的随机矩阵$$W$$（或称转移概率矩阵）所描述，定义为<math>W_{ij} = \frac{A_{ij}}{\sum_k A_{kj}}</math>表示从节点<math>j</math>转移到节点<math>i</math>的概率。为实现网络的降维与简化，研究一种基于谱理论的粗粒化方法<ref>Gfeller D, De Los Rios P. Spectral coarse graining of complex networks[J]. Physical review letters, 2007, 99(3): 038701.</ref>。该方法的核心在于选取随机矩阵前<math>S</math>个最大非平凡特征向值<math>\lambda^2, \lambda^3, \ldots, \lambda^{S+1}</math>对应的左特征向量<math>\langle u^2 |, \langle u^3 |, \ldots, \langle u^{S+1} |</math>，将网络节点映射到该特征向量张成的特征空间。在此基础上，将每个特征向量的值域划分为<math>I</math>个区间，在所有<math>S</math>个特征向量均落入相同区间的节点合并为一个超级节点。从概率角度可以对此粗粒化过程可以解释为，将新超级节点的出边概率为原节点的出边概率的加权平均，其流入概率为原节点的流入概率相加，其他没有合并节点的转移概率保持不变。
====结合统计物理与机器学习的网络流方法====
====结合统计物理与机器学习的网络流方法====
通过<math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math>得到宏观邻接矩阵<math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中<math>A_{N\times N}</math>原始网络的邻接矩阵。归一化配分函数<math>\frac{Z}{N}</math>的平均绝对误差（MAE）作为训练图神经网络的损失函数，通过梯度下降优化GNN的参数。
通过<math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math>得到宏观邻接矩阵<math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中<math>A_{N\times N}</math>原始网络的邻接矩阵。归一化配分函数<math>\frac{Z}{N}</math>的平均绝对误差（MAE）作为训练图神经网络的损失函数，通过梯度下降优化GNN的参数。
网络规模从<math>N</math>压缩到<math>N^{'}</math>后，得到新的拉普拉斯矩阵<math>L^{'}</math>和配分函数<math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是<math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当<math>\tau=0</math>时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为<math>\frac{N}{N^{'}}</math>。
网络规模从<math>N</math>压缩到<math>N^{'}</math>后，得到新的拉普拉斯矩阵<math>L^{'}</math>和配分函数<math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是<math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当<math>\tau=0</math>时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为<math>\frac{N}{N^{'}}</math><ref>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>。
====具有自非相似性的复杂网络的粗粒化方法====
====具有自非相似性的复杂网络的粗粒化方法====
方法<ref>Itzkovitz, Shalev, et al. "Coarse-graining and self-dissimilarity of complex networks." Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics 71.1 (2005): 016127.</ref>在电子电路（ISCAS89基准电路）和生物信号网络（哺乳动物蛋白质相互作用网络）成功应用，只要网络存在功能模块的重复级联，这个方法就可以应用。它们抽象出来一个“自非相似性”的特性。自非相似性是指复杂网络的不同粗粒化层面，粗粒化单元和网络模体与整体网络的拓扑结构存在显著差异，而不是保持部分与整体的相似性。不同粗粒化层级的粗粒化单元和网络模体通过功能分化实现整体功能。