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公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。

公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。

对于光滑观测函数<math> g </math>，随机 Koopman 算子的生成元 <math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} </math>满足：<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} </math>，结合[[伊藤公式（Ito's lemma）]]，生成元可展开为：

对于光滑观测函数<math> g </math>，随机 Koopman 算子的生成元 <math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} </math>满足：<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} </math>，结合[[伊藤公式（Ito's lemma）]]（随机微积分里的 “链式法则”），生成元可展开为：

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x)  \right]}_{\text{随机扩散项}} =  \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2} \text{tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) </math>

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x)  \right]}_{\text{随机扩散项}} </math>

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献，当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子，随机 Koopman 算子的[[特征值]]可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），[[特征函数]]可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献，当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子，随机 Koopman 算子的[[特征值]]可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），[[特征函数]]可刻画系统的 “平均线性化” 演化。