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第1,415行： − + − + + + 第1,422行：
第1,424行： − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − 在此框架下，人口密度随中心距离衰减满足幂律：+ + + + + + + + + + + 第1,432行：
第1,465行： − 相应地，道路长度和社会经济互动的累积量分别满足：+ + + 第1,438行：
第1,473行： − 这些空间标度关系不仅能从单一观测量推导出其他城市要素的分布，还能解释宏观上的超线性（如 GDP ∝ N^7/6）与次线性（如道路长度 ∝ N^5/6）的聚合标度规律。+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→空间吸引机制
有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d[/math]是多少，[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系有关。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]。
有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d[/math]是多少，[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系有关。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]。
==== 空间吸引机制 ====
==== 扩展模型 ====
Li 等人 (2017) 提出了一个结合空间吸引与匹配生长机制的简单模型，用于解释城市内部人口、道路和社会经济互动的空间分布及其背后的标度规律。他们认为，城市不仅是人口的聚集，还包括道路与互动网络的协同演化，这三者遵循统一的空间标度框架<ref name=":9" />。
2017年，[[李睿琪]]、[[董磊]]等人在文献<ref name="city_nc">{{cite journal|author1=Li, R.|author2=Dong, L.|author3=Zhang, J.|author4=Xinran Wang|author5=Wen-Xu Wang|author6=Zengru Di|author7=H. Eugene Stanley|title=Simple spatial scaling rules behind complex cities|journal=Nature Communications|volume=8|issue=1841|year=2017}}</ref>中改进了[[匹配生长模型]]，引入了空间吸引机制，使得模型可以模拟城市的生长行为，并解释城市系统中的规模法则，以及城市内部人口、道路和社会经济互动的空间分布及其背后的分形规律。他们认为，城市不仅是人口的聚集，还包括道路与互动网络的协同演化，这三者遵循统一的空间标度框架<ref name="city_nc" />。
=====引入空间吸引机制的匹配生长模型=====
模型的核心思想是：新形成的“活跃社区”（active population, AP）在空间上按照一定概率出现，其位置受现有人口密度与空地吸引力的共同作用。形式上，新节点在位置 [math]\displaystyle{(r,\theta)}[/math] 出现的概率为：
模型的核心思想是：新形成的“活跃社区”（active population, AP）在空间上按照一定概率出现，其位置受现有人口密度与空地吸引力的共同作用。形式上，新节点在位置 [math]\displaystyle{(r,\theta)}[/math] 出现的概率为：
[math]\displaystyle{ P(r,\theta,t) \propto \rho(r,\theta,t) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ P(r,\theta,t) \propto \rho(r,\theta,t) + C }[/math]
其中 [math]\displaystyle{\rho(r,\theta,t)}[/math] 为局部人口密度，[math]\displaystyle{C}[/math] 表示空地的吸引强度。当新节点距离现有节点过远时，因连接成本过高而无法存活，这就是“匹配生长”机制。
其中 [math]\displaystyle{\rho(r,\theta,t)}[/math] 为局部人口密度，[math]\displaystyle{C}[/math] 表示空地的吸引强度，它是一个可以调节的正的实数，这是该模型中除了空间维数以外唯一的一个参数。当[math]C[/math]较大时，则新生成节点会比较均匀地分布不受已有节点密度的影响；当[math]C[/math]比较小的时候，则新生成的节点会以较大的概率在已有节点附近生成。同样的，当新节点距离现有节点过远时，因连接成本过高而无法存活，这就是“匹配生长”机制。将空间吸引机制与匹配生长机制结合，就可以使得我们可以用[math]C[/math]调节最终生成的节点分布情况。
=====活跃人口分布=====
在城市建模中，作者们认为，引入了空间吸引机制后的匹配生长模型可以建模城市中[[活跃人口]]的分布情况。所谓的活跃人口，是指城市中某一个空间点处的平均人口，通常可以用此点处的工作人口和居住人口按照工作/休息时间比例混合来进行估计。这种人口密度可以比一般的居住或工作人口更好地刻画人口在城市中的分布，并且更符合[[匹配生长模型]]的预测。
下图展示的就是真实与用[[匹配生长模型]]模拟的伦敦市的活跃人口的分布情况：
[[File:matchinggrowthspatialattractionmodelnodes.png|350px|center]][[File:matchinggrowthspatialattractionlondon.png|400px|center]]
=====道路生长机制=====
为了模拟道路的生长，该模型引入的第二个假设就是某一块区域的道路密度是依赖于该区域的活跃人口密度。由于城市道路的分形特征，道路网络近似可以被看作是用一个一维的线来填充充实一个二维的城市区域平面，因此，一块小区域中的道路总长度满足：
:<math>
l(x,t)\propto \rho(x,t)
</math>
这里，<math>x</math>城市中某一点的位置坐标，<math>t</math>是时间步，<math>l</math>是这片区域中道路的长度，<math>\rho</math>是该区域中活跃人口的密度。很多道路生成模型都满足该机制。
=====社会交互机制=====
为了模拟城市中社会经济互动的分布规律以及规模法则，该模型引入的第三个假设是某一区域的社会经济互动是依赖于该区域的活跃人口密度，以及道路的长度的。如果我们设某一个区域内的社会经济活动的总量为<math>g(x,t)</math>，那么它满足：
:<math>
g(x,t)\propto \rho(x,t)\cdot l(x,t)
</math>
在城市中，道路可以被看作是人与人交互的界面。我们可以观察到，很多的商铺都是沿着道路开设的，而这些商铺都是人与人交互的场所。所以，一块儿区域的道路越多，则社会交互也会越多。交互的主体是人，因此一块儿区域人口密度越高，则社会交互也会越高，因此，局部的社会交互是正比于局部的人口密度和道路长度的乘积的。
=====空间幂律=====
由上述三种引入的机制和匹配生长规则，我们便可以模拟一座城市的生长，包括道路网络的生长和社会交互活动的分布。而且，该文章可以从理论上推导出，活跃人口、道路网络和社会经济互动三大要素的空间分布满足如下关系：
活跃人口密度随中心距离衰减满足幂律：
[math]\displaystyle{ \rho(r,t) \propto r^{-\beta} }[/math]
[math]\displaystyle{ \rho(r,t) \propto r^{-\beta} }[/math]
[math]\displaystyle{ P(r,t) \propto r^{2-\beta} }[/math]
[math]\displaystyle{ P(r,t) \propto r^{2-\beta} }[/math]
这里，<math>P(r,t)</math>是到第t步的时候，半径r内的总活跃人口数。其中<math>\beta</math>为一个与常数<math>C</math>相关的参数。我们可以利用某城市的活跃人口分布数据拟合估计出<math>\beta</math>的取值，这一取值也直接决定了其他两种要素的空间分布。
道路长度和社会经济互动在半径r内的累积量分别满足：
[math]\displaystyle{ L(r,t) \propto r^{2-\beta/2} }[/math]
[math]\displaystyle{ L(r,t) \propto r^{2-\beta/2} }[/math]
[math]\displaystyle{ G(r,t) \propto r^{2-3\beta/2} }[/math]
[math]\displaystyle{ G(r,t) \propto r^{2-3\beta/2} }[/math]
可以看到，它们的累积量都会与<math>r</math>呈现出幂律的规律，而且幂指数虽然各不相同，但是都与活跃人口的空间指数[math]\beta[/math]有关。
=====规模法则=====
进一步，我们对上述累积分布规律对半径r做积分，就可以求出一座城市中活跃人口、道路长度和社会经济互动的总量，这些总量仅与城市的半径大小有关，且呈现幂律关系：
:<math>
Y\propto R^{2+\eta}
</math>
这里的[math]Y[/math]可以代表城市中的总人口、总道路长度，或城市中的总的社会经济互动（即GDP），[math]R[/math]为城市的半径，[math]\eta[/math]为与[math]\beta[/math]无关的幂指数。当Y分别代表人口、道路和GDP的时候，这三个幂指数分别为：1，1/2，和3/2。由此我们可以消去R，而将所有的Y表达为人口N的函数，可以得到如下幂律关系：
:<math>
X\propto N^{\gamma}
</math>
这里的X可以代表城市的面积、道路总长度、GDP等指标，幂律指数[math]\gamma[/math]会因指标的变动而变，我们可以总结为下表：
{| class="wikitable"
|+ 各个变量规模法则幂指数与实测城市幂指数区间的比较
! 变量 !! 理论值 !! 经验值
|-
| 道路长度 || 5/6 || (0.74, 0.92)
|-
| 国内生产总值（GDP） || 7/6 || (1.01, 1.33)
|-
| 面积 || 2/3 || (0.56, 1.04)
|}
匹配生长模型将城市增长描述为动态过程，而不是静态几何假设。这意味着该模型不仅能展现人口和道路的空间分布，还能在尺度上预测夜间灯光亮度等社会经济活动指标。这使得匹配生长模型成为理解城市复杂性和标度起源的重要理论工具。
匹配生长模型将城市增长描述为动态过程，而不是静态几何假设。这意味着该模型不仅能展现人口和道路的空间分布，还能在尺度上预测夜间灯光亮度等社会经济活动指标。这使得匹配生长模型成为理解城市复杂性和标度起源的重要理论工具。