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第256行： − + 第263行：
第263行： − 下图是一张关于DMD算法在流体流动应用上的算法流程示意图。图中左侧展示了一系列实验图像时间序列，即切片数据。时间t从上到下增加，表示流体流经圆柱体时的动态变化。有了中间部分是数据收集和处理过程，通过矩阵运算将实验数据转换为适合分析的形式。右侧展示了DMD的应用，包括诊断和时间动力学预测，以及未来状态的预测。图中使用红色虚线标注了过去和未来的时间线，并有彩色图形表示动态模式。+ − 右侧展示了DMD的应用，包括诊断和时间动力学预测，以及未来状态的预测。图中使用红色虚线标注了过去和未来的时间线，并有彩色图形表示动态模式。 第270行：
第269行： − + − 如上图中间的“collect data”.+ − 2.计算<math>\mathbf{X}</math>的SVD：<math> \mathbf{X} = \mathbf{U}\mathbf{Σ}\mathbf{V^*} </math>+ − − 通过SVD可以降维，只保留前 r个重要的模式（即低秩近似）。 − − 第284行：
第279行： − 下面是一个来自Schmid<ref name=Schmid_2010>P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28. (Cited on pp. 231, 237, 238, 249, 250, 255, 258, 284, 292)</ref>+ − 的“空腔流动”示例如下图（选定参数：均匀来流速度，雷诺数Re=4500）。 − +
→动力学模式分解（DMD）
[[动力学模式分解]]（DMD，Dynamic Mode Decomposition）最初由 Schmid
[[动力学模式分解]]（DMD，Dynamic Mode Decomposition）最初由 Schmid
<ref name=Schmid_2008>P. J. Schmid and J. Sesterhenn, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, in 61st Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics, American Physical Society, 2008. (Cited on pp. 249, 258)</ref><ref name=Schmid_2010>P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28. (Cited on pp. 231, 237, 238, 249, 250, 255, 258, 284, 292)</ref>在流体动力学领域引入，已迅速成为从数据中近似 Koopman 算子的标准算法。它是一种能够从数值模拟或实验测量的时间序列中直接提取时空相干结构的数据分析方法。该方法不依赖于流动的系统矩阵，而是基于切片数据之间存在线性演化算子的假设。通过近似该算子的特征值，我们可以将复杂的流场分解为具有单一特定频率和增长/衰减率的“动态模态”<ref name=Rowley_2009>C. W. Rowley, I. Mezi\' c, S. Bagheri, P. Schlatter, and D. Henningson, Spectral analysis of nonlinear flows, J. Fluid Mech., 645 (2009), pp. 115--127. (Cited on pp. 231, 237, 238, 246, 249, 255, 256, 258, 259, 284, 292)</ref><ref name=Tu_2014> J. H. Tu, C. W. Rowley, D. M. Luchtenburg, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, On dynamic mode decomposition: Theory and applications, J. Comput. Dynam., 1 (2014), pp. 391--421. </ref>。其结果本质上可视为线性系统的全局稳定性模态或非线性系统的线性切向近似。
<ref name=Schmid_2008>P. J. Schmid and J. Sesterhenn, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, in 61st Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics, American Physical Society, 2008. (Cited on pp. 249, 258)</ref><ref name=Schmid_2010>P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28. (Cited on pp. 231, 237, 238, 249, 250, 255, 258, 284, 292)</ref>在流体动力学领域引入，已迅速成为从数据中近似 Koopman 算子的标准算法。它是一种能够从数值模拟或实验测量的时间序列中直接提取[[时空相干结构]]的数据分析方法。该方法不依赖于流动的系统矩阵，而是基于切片数据之间存在线性演化算子的假设。通过近似该算子的特征值，我们可以将复杂的流场分解为具有单一特定频率和增长/衰减率的“动态模态”<ref name=Rowley_2009>C. W. Rowley, I. Mezi\' c, S. Bagheri, P. Schlatter, and D. Henningson, Spectral analysis of nonlinear flows, J. Fluid Mech., 645 (2009), pp. 115--127. (Cited on pp. 231, 237, 238, 246, 249, 255, 256, 258, 259, 284, 292)</ref><ref name=Tu_2014> J. H. Tu, C. W. Rowley, D. M. Luchtenburg, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, On dynamic mode decomposition: Theory and applications, J. Comput. Dynam., 1 (2014), pp. 391--421. </ref>。其结果本质上可视为线性系统的全局稳定性模态或非线性系统的线性切向近似。
2009年Rowley 等人<ref name=Rowley_2009 />首次建立了 DMD 与 Koopman 算子的首次联系。DMD算法最初是为了从高维时间序列数据中识别时空相干结构而开发的，这些结构在流体动力学中很常见。DMD的计算可以基于数据上的奇异值分解（[[SVD]]），因此它为高维数据提供了可扩展的降维。SVD 根据每个模式捕获原始数据方差的程度对模式进行分层排序；这些模式即使在数据的时间顺序被打乱时也保持不变。相比之下，DMD 模式是 SVD 模式的线性组合，这些组合被专门选择以提取在时间上具有相同相干线性行为的空间相关结构，表现为以固定频率振荡并伴随增长或衰减。因此，DMD 可以被视为空间上的 SVD/POD 与时间上的傅里叶变换的结合，结合了每种方法的优点 <ref name=Chen_2012>K. K. Chen, J. H. Tu, and C. W. Rowley, Variants of dynamic mode decomposition: Boundary condition, Koopman, and Fourier analyses, J. Nonlinear Sci., 22 (2012), pp. 887--915. (Cited on pp. 249, 253, 263, 278, 292)</ref><ref name=Kutz_2016>J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, and J. L. Proctor, Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Modeling of Complex Systems, SIAM, Philadelphia, 2016, https://doi.org/10.1137/1.9781611974508. (Cited on pp. 231, 249, 251, 252, 256, 278, 284)</ref>。
2009年Rowley 等人<ref name=Rowley_2009 />首次建立了 DMD 与 Koopman 算子的首次联系。DMD算法最初是为了从高维时间序列数据中识别时空相干结构而开发的，这些结构在流体动力学中很常见。DMD的计算可以基于数据上的奇异值分解（[[SVD]]），因此它为高维数据提供了可扩展的降维。SVD 根据每个模式捕获原始数据方差的程度对模式进行分层排序；这些模式即使在数据的时间顺序被打乱时也保持不变。相比之下，DMD 模式是 SVD 模式的线性组合，这些组合被专门选择以提取在时间上具有相同相干线性行为的空间相关结构，表现为以固定频率振荡并伴随增长或衰减。因此，DMD 可以被视为空间上的 SVD/POD 与时间上的傅里叶变换的结合，结合了每种方法的优点 <ref name=Chen_2012>K. K. Chen, J. H. Tu, and C. W. Rowley, Variants of dynamic mode decomposition: Boundary condition, Koopman, and Fourier analyses, J. Nonlinear Sci., 22 (2012), pp. 887--915. (Cited on pp. 249, 253, 263, 278, 292)</ref><ref name=Kutz_2016>J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, and J. L. Proctor, Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Modeling of Complex Systems, SIAM, Philadelphia, 2016, https://doi.org/10.1137/1.9781611974508. (Cited on pp. 231, 249, 251, 252, 256, 278, 284)</ref>。
假设有一个系统，每隔一段时间Δt我们就测量一次系统的状态。比如，一个网格上有 100x100 个点，每个点的温度、压力等数据组成一个很长的向量。采样测量了 m+1个时间点。
假设有一个系统，每隔一段时间Δt我们就测量一次系统的状态。比如，一个网格上有 100x100 个点，每个点的温度、压力等数据组成一个很长的向量。采样测量了 m+1个时间点。
下图是一张关于DMD算法在流体流动应用上的算法流程示意图。图中左侧展示了一系列实验图像时间序列，即切片数据。时间t从上到下增加，表示流体流经圆柱体时的动态变化。有了这些数据作为输入，下图中间部分是拟合过程。我们可以直接通过最小二乘法拟合出线性迭代矩阵A。右侧则是DMD的输出。一方面我们可以预测系统未来的演化，更重要的，我们可以通过对矩阵A做特征值分解，得到Koopman特征值和特征函数的近似（理论见上文“Koopman模式分解”章节），从而可以把原本的动力学分解成几个主要的动力学模式。这些动力学模式分别提取出了原动力学中具有物理含义的结构，比如平均流场、不同尺度的涡旋等等。
[[文件:DMD算法图3.1.png|410x410px|替代=]]
[[文件:DMD算法图3.1.png|410x410px|替代=]]
DMD算法：
DMD算法：
1.组建矩阵<math>\mathbf{X}</math>和<math>\mathbf{X'}</math>。
1.组建切片数据<math>\mathbf{X}</math>和<math>\mathbf{X'}</math>。
2.计算<math>\mathbf{X}</math>的SVD（如果原系统维度很高，需要先进行低秩近似）：<math> \mathbf{X} = \mathbf{U}\mathbf{Σ}\mathbf{V^*} </math>
3.最小二乘法拟合<math> \tilde{A} </math>: <math> \tilde{A} = \mathbf{U^*} \mathbf{X'} \mathbf{V} \mathbf{Σ^{-1}} </math>。
3.计算<math> \tilde{A} </math>: <math> \tilde{A} = \mathbf{U^*} \mathbf{X'} \mathbf{V} \mathbf{Σ^{-1}} </math>。
4.求解<math> \tilde{A} </math>的特征值和特征向量： <math> \tilde{A} \omega = \lambda \omega </math> 。
4.求解<math> \tilde{A} </math>的特征值和特征向量： <math> \tilde{A} \omega = \lambda \omega </math> 。
5.DMD模态为：<math> \varphi = \frac {1} {\lambda} \mathbf{X'} \mathbf{V} \mathbf{Σ^{-1}} \omega </math>。
5.DMD模态为：<math> \varphi = \frac {1} {\lambda} \mathbf{X'} \mathbf{V} \mathbf{Σ^{-1}} \omega </math>。
下面是一个关于“空腔流动”的示例<ref name=Schmid_2010 />。如下图（选定参数：均匀来流速度，雷诺数Re=4500）。
[[文件:空腔流动fig1.png|410x410px|替代=]]
[[文件:空腔流动fig1.png|410x410px|替代=]]
先基于二维线性化纳维-斯托克斯程序，在等时间间隔内进行数值采样。将存储的二维流场数据组成矩阵，随后用“DMD算法”进行处理。
先基于二维线性化纳维-斯托克斯方程，在等时间间隔内进行数值采样。将存储的二维流场数据组成矩阵，随后用“DMD算法”进行处理。
提取的频谱（即输入矩阵的谱）展示于下图。可以观测到空腔流的典型谱结构：包含不稳定特征值（不稳定分支）的抛物线型分支，以及描述空腔内部动力学（稳定分支）的抛物线型分支。图中特征值还表征了对应模态的相干性度量，用以区分大尺度高能结构（红色标识）与小尺度低能结构（蓝色标识）。
提取的频谱（即输入矩阵的谱）展示于下图。可以观测到空腔流的典型谱结构：包含不稳定特征值（不稳定分支）的抛物线型分支，以及描述空腔内部动力学（稳定分支）的抛物线型分支。图中特征值还表征了对应模态的相干性度量，用以区分大尺度高能结构（红色标识）与小尺度低能结构（蓝色标识）。