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2025年12月18日 (四) 22:38的版本
动力学模式分解 (DMD)
动力学模式分解 (DMD, Dynamic Mode Decomposition) 最初由 Schmid [1][2]在流体动力学领域引入，已迅速成为从数据中近似 Koopman 算子的标准算法。它是一种能够从数值模拟或实验测量的时间序列中直接提取时空相干结构的数据分析方法。该方法不依赖于流动的系统矩阵，而是基于切片数据之间存在线性演化算子的假设。通过近似该算子的特征值，我们可以将复杂的流场分解为具有单一特定频率和增长/衰减率的“动态模态”[3][4]。其结果本质上可视为了线性系统的线性切向近似。
2009年Rowley 等人[3]首次建立了 DMD 与 Koopman 算子的首次联系。DMD算法最初是为了从高维时间序列数据中识别空相干结构而开发的，这些结构在流体动力学中非常常见。DMD的计算可以基于数据上的奇异值分解 (SVD)，因此它为高维数据提供了可扩展的降维。SVD根据每个模式捕获原始数据方差的程度对模式进行分层排序；这些模式即使在数据的时间顺序被打乱时也保持不变。相比之下，DMD 模式是 SVD 模式的线性组合，这些组合被专门选择以提取在时间上具有相同相干线性行为的空间相关结构，表现为以固定频率振荡并伴随增长或衰减。因此，DMD 可以被视为空间上的 SVD/POD 与时间上的傅里叶变换的结合，结合了每种方法的优点 [5][6]。
算法的详细步骤
- ↑ P. J. Schmid and J. Sesterhenn, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, in 61st Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics, American Physical Society, 2008. (Cited on pp. 249, 258)
- ↑ P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28. (Cited on pp. 231, 237, 238, 249, 250, 255, 258, 284, 292)
- ↑ 3.0 3.1 C. W. Rowley, I. Mezi\' c, S. Bagheri, P. Schlatter, and D. Henningson, Spectral analysis of nonlinear flows, J. Fluid Mech., 645 (2009), pp. 115--127. (Cited on pp. 231, 237, 238, 246, 249, 255, 256, 258, 259, 284, 292)
- ↑ J. H. Tu, C. W. Rowley, D. M. Luchtenburg, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, On dynamic mode decomposition: Theory and applications, J. Comput. Dynam., 1 (2014), pp. 391--421.
- ↑ K. K. Chen, J. H. Tu, and C. W. Rowley, Variants of dynamic mode decomposition: Boundary condition, Koopman, and Fourier analyses, J. Nonlinear Sci., 22 (2012), pp. 887--915. (Cited on pp. 249, 253, 258, 282, 292)
- ↑ J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, and J. L. Proctor, Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Modeling of Complex Systems, SIAM, Philadelphia, 2016, https://doi.org/10.1137/1.9781611974508. (Cited on pp. 231, 249, 251, 252, 256, 278, 284)