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<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in \mathcal{X} </math>
<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in \mathcal{X} </math>
其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是[[离散时间]]步，<math> F: X \to X </math>是离散[[流映射]]（可能[[非线性]]）， <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> 步的状态。[[离散时间]]Koopman[[算子]] <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：
其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是[[离散时间]]步，<math>\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}^n</math>是一个有限维的状态空间。<math> F: \mathcal{X} \to \mathcal{X} </math>是离散[[流映射]]（可能[[非线性]]）， <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> 步的状态。观测函数<math>g \colon \mathcal{X} \to \mathbb{C}</math>构成了集合<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>。[[离散时间]]Koopman[[算子]] <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(\mathcal{X}) \to \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：
<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>
<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>
对于 <math> t = m </math>个[[离散时间]]步<math> m \in \mathbb{N} </math>，[[算子]]可表示为<math> \mathcal{K}^m g(x) = g\left( F^m(x) \right) </math>，即 m 次[[算子]]作用等价于 m 次状态演化后的观测，其中<math> F^m = F \circ F \circ \dots \circ F </math> （m次复合）。
对于<math> t = m </math>个[[离散时间]]步<math> m \in \mathbb{N} </math>，[[算子]]可表示为<math> \mathcal{K}^m g(x) = g\left( F^m(x) \right) </math>，即 m 次[[算子]]作用等价于 m 次状态演化后的观测，其中<math> F^m = F \circ F \circ \dots \circ F </math> （m次复合）。
其中观测函数可以任意地选取，比如<math>g(x) = x^n,\quad n\in\mathbb{N}</math>， <math>g(x) = \sin x</math>， <math>g(x) = \mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma^2)}</math>等等（需要使得观测函数空间满足Koopman不变子空间，详见下文）。 <math> F(x) </math>是离散[[流映射]]，将第 k 步状态<math> x_k </math> 映射到第 k+1 步状态 <math> x_{k+1} </math>； <math> g\left( F(x) \right) </math>是观测函数的演化结果，表示“先让状态 x 演化1个离散步，再对演化后的状态进行观测”。
==时间连续==
==时间连续==