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==不变子空间==

==不变子空间==

应用的Koopman分析并不是在[[希尔伯特空间]]中捕捉所有测量函数的演化，而是近似在由有限组测量函数张成的不变子空间上描述系统的演化。一个Koopman不变子空间<ref name="brunton_2022" />被定义为一组函数<math>{g_1, g_2, \ldots, g_p}</math>的张成空间，如果该子空间中的所有函数<math>g</math>都满足

应用的Koopman分析并不是在[[希尔伯特空间]]中捕捉所有测量函数的演化，而是近似在由有限组测量函数张成的不变子空间上描述系统的演化。

 

'''定义（不变子空间）'''：一个Koopman不变子空间<ref name="brunton_2022" />被定义为一组函数<math>{g_1, g_2, \ldots, g_p}</math>的张成空间，如果该子空间中的所有函数<math>g</math>都满足：

<math> g = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_p g_p </math>

<math> g = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_p g_p </math>

<math> \mathcal{K}g = \beta_1 g_1 + \beta_2 g_2 + \cdots + \beta_p g_p </math>

<math> \mathcal{K}g = \beta_1 g_1 + \beta_2 g_2 + \cdots + \beta_p g_p </math>

将Koopman算子限制在由有限个函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成的不变子空间上，可以获得它的有限维矩阵表示。矩阵<math>\mathbf{K}</math>作用在<math>\mathbb{R}^p</math>上的向量空间，其坐标由各个<math>g_j(\mathbf{x})</math>的取值给定。这将诱导出一个有限维的线性系统。

将Koopman算子限制在由有限个函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成的不变子空间上，可以获得它的有限维矩阵表示。矩阵<math>\mathbf{K}</math>作用在<math>\mathbb{R}^p</math>上的向量空间，其坐标由各个<math>g_j(\mathbf{x})</math>的取值给定。这将诱导出一个有限维的线性系统。